A posição de um objeto em movimento é representada pela função s = f(t) = 1/(1+t), onde t é medido em segundos e s é representado em metros. Determine a velocidade e a rapidez após t = 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos dá a função que mostra a posição de um objeto em movimento: $ s(t) = \frac{1}{1+t} $, onde $ t $ é o tempo em segundos e $ s $ é a posição em metros. A gente precisa descobrir a velocidade e a rapidez desse objeto quando $ t = 2 $ segundos. Para isso, vamos usar noções de cálculo, especificamente derivadas.

Passo 2

Primeiro, para achar a velocidade, a gente precisa derivar a função posição $ s(t) $ em relação ao tempo $ t $. A derivada da posição em relação ao tempo nos dá a velocidade $ v(t) $. Então, vamos calcular $ v(t) = s’(t) $.

Passo 3

Vamos derivar $ s(t) = \frac{1}{1+t} $. Para isso, podemos reescrever a função como $ s(t) = (1+t)^{-1} $. Usando a regra da potência na derivada, onde a derivada de $ (1+t)^n $ é $ n(1+t)^{n-1} $, temos:
s(t) = 11+t

Passo 4

Agora que temos a expressão para a velocidade, vamos substituir $ t = 2 $ segundos para encontrar a velocidade nesse instante:
t = 2

Passo 5

A rapidez é o módulo da velocidade, ou seja, é sempre um valor positivo que indica a intensidade da velocidade sem considerar a direção. Portanto, para achar a rapidez:
Rapidez = |v(2)| = 19 , m/s

Resposta

Quando $ t = 2 $ segundos, a velocidade do objeto é $ -\frac{1}{9} , m/s $ e a rapidez é $ \frac{1}{9} , m/s $.

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