A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo y é dada por
, onde y está em metros e t em segundos.
Determine qual é a coordenada positiva máxima alcançada pela partícula
Determine qual é a coordenada positiva máxima alcançada pela partícula
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A posição de uma partícula ao longo do eixo y é dada pela função $ y = 5t^3 - 3t^2 + 4t $, onde $ y $ está em metros e $ t $ em segundos. O nosso objetivo aqui é descobrir qual é a coordenada máxima positiva que a partícula alcança durante seu movimento.
Passo 2
Para encontrar a coordenada máxima, precisamos identificar quando a partícula para de subir e começa a descer. Isso acontece quando a velocidade da partícula é zero. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo.
Então, vamos calcular a derivada da função $ y(t) $:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de $ t $ que fazem a velocidade igual a zero:
Para resolver essa equação do segundo grau, usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde $ a = 15 $, $ b = -6 $ e $ c = 4 $.
Calculando o discriminante ($ \Delta $):
Como o discriminante é negativo ($ \Delta < 0 $), não há soluções reais para essa equação. Isso significa que a velocidade da partícula nunca é zero para valores reais de $ t $.
Passo 4
Como não encontramos um ponto onde a velocidade é zero, a partícula não tem um ponto de reversão no seu movimento dentro do intervalo de tempo considerado. Portanto, para determinar a posição máxima, devemos analisar o comportamento da função $ y(t) $ conforme $ t $ aumenta.
Observamos que o termo dominante na função $ y(t) = 5t^3 $ faz com que, conforme $ t $ cresce, $ y(t) $ também cresça sem limites. Contudo, como queremos a coordenada máxima positiva alcançada, precisamos considerar um intervalo de tempo específico ou concluir que a partícula continua aumentando sua posição positiva indefinidamente.
Resposta
A partícula não atinge uma coordenada máxima positiva finita dentro dos valores reais de $ t $. Portanto, a coordenada positiva máxima alcançada pela partícula tende ao infinito conforme $ t $ aumenta.