A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo x é dada por
, em que x está em centímetros e t em segundos. Calcule:
12a) a velocidade média durante o intervalo de tempo de
a
;
12b) a velocidade instantânea em:
e
;
12c) a velocidade instantânea em
;
12d) a velocidade instantânea quando a partícula está na metade da distância entre as posições em
e t
;
12e) Plote o gráfico de x em função de t e indique suas respostas graficamente.
12a) a velocidade média durante o intervalo de tempo de
12b) a velocidade instantânea em:
12c) a velocidade instantânea em
12d) a velocidade instantânea quando a partícula está na metade da distância entre as posições em
12e) Plote o gráfico de x em função de t e indique suas respostas graficamente.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem a posição de uma partícula em função do tempo, que é dada por
, onde
está em centímetros e
em segundos. Nosso objetivo aqui é calcular diferentes tipos de velocidade dessa partícula em intervalos e instantes específicos de tempo. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de velocidade média e velocidade instantânea, além de aplicar derivadas para encontrar a velocidade instantânea.
Passo 2
12a) Velocidade média entre
s e
s
A velocidade média (
) em um intervalo de tempo é dada pela variação da posição dividida pela variação do tempo:
Vamos calcular
e
:
Agora, aplicando na fórmula da velocidade média:
Passo 3
12b) Velocidade instantânea em
s,
s e
s
A velocidade instantânea é a derivada da função posição em relação ao tempo. Então, primeiro vamos encontrar a função velocidade
:
Agora, substituímos os valores de
na função
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 4
12c) Velocidade instantânea em
s
Já calculamos isso no passo anterior, mas vamos reafirmar:
Passo 5
12d) Velocidade instantânea quando a partícula está na metade da distância entre as posições em
s e
s
Primeiro, vamos encontrar a metade da distância entre
e
:
Então, a posição onde a partícula está na metade é:
Agora, vamos encontrar o tempo
correspondente a
:
Agora, calculamos a velocidade instantânea em
:
Passo 6
12e) Gráfico de
em função de
e indicação das respostas graficamente
Para plotar o gráfico de
em função de
, vamos considerar um intervalo de tempo que cubra os valores de interesse, por exemplo, de
s até
s.
A função é:
Plotando essa função, teremos uma curva que cresce de forma cúbica à medida que
aumenta. Nos pontos
s,
s e
s, podemos marcar as posições correspondentes e as velocidades instantâneas calculadas nos passos anteriores.
(Aqui, deveria haver um gráfico ilustrativo, mas como estamos em texto, recomendo utilizar uma ferramenta gráfica como o Desmos ou GeoGebra para visualizar a curva.)
Resposta
a) A velocidade média entre
s e
s é de 28,50 cm/s.
b) As velocidades instantâneas são:
- Em
s: 18,00 cm/s - Em
s: 28,125 cm/s - Em
s: 40,50 cm/s
c) A velocidade instantânea em
s é de 40,50 cm/s.
d) A velocidade instantânea quando a partícula está na metade da distância entre
s e
s (aproximadamente em
s) é de 30,186 cm/s.
e) O gráfico de
em função de
é uma curva cúbica crescente. As posições e velocidades calculadas podem ser indicadas nos pontos correspondentes do gráfico para melhor visualização.
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