A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo x é dada por x=9,75+1,50 t^3, em que x está em centímetros e t em segundos. Calcule:
12a) a velocidade média durante o intervalo de tempo de t=2,00 s a t=3,00 s;
12b) a velocidade instantânea em: t=2,00 s, t=2,50 s e t=3,00 s;
12c) a velocidade instantânea em t=3,00 s;
12d) a velocidade instantânea quando a partícula está na metade da distância entre as posições em t=2,00 s e t =3,00 s;
12e) Plote o gráfico de x em função de t e indique suas respostas graficamente.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem a posição de uma partícula em função do tempo, que é dada por , onde está em centímetros e em segundos. Nosso objetivo aqui é calcular diferentes tipos de velocidade dessa partícula em intervalos e instantes específicos de tempo. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de velocidade média e velocidade instantânea, além de aplicar derivadas para encontrar a velocidade instantânea.

Passo 2

12a) Velocidade média entre vm = De s e x(2) = 9,75 + 1,50 times (2)^3 = 9,75 + 1,50 times 8 = 9,75 + 12 = 21,75,cm s
A velocidade média ( x(3) = 9,75 + 1,50 times (3)^3 = 9,75 + 1,50 times 27 = 9,75 + 40,50 = 50,25,cm ) em um intervalo de tempo é dada pela variação da posição dividida pela variação do tempo:
vm = 50,25,cm - 21,75,cm3,00,s - 2,00,s = 28,50,cm1,00,s = 28,50,cm/s
Vamos calcular e :
Agora, aplicando na fórmula da velocidade média:

Passo 3

12b) Velocidade instantânea em v(t) = dxdt = ddt ( 9,75 + 1,50 t^3 ) = 0 + 4,50 t^2 = 4,50 t^2,cm/s s, v(2) = 4,50 times (2)^2 = 4,50 times 4 = 18,00,cm/s s e v(2,5) = 4,50 times (2,5)^2 = 4,50 times 6,25 = 28,125,cm/s s
A velocidade instantânea é a derivada da função posição em relação ao tempo. Então, primeiro vamos encontrar a função velocidade v(3) = 4,50 times (3)^2 = 4,50 times 9 = 40,50,cm/s :
Agora, substituímos os valores de na função :
Para :
Para :
Para :

Passo 4

12c) Velocidade instantânea em v(3) = 40,50,cm/s s
Já calculamos isso no passo anterior, mas vamos reafirmar:

Passo 5

12d) Velocidade instantânea quando a partícula está na metade da distância entre as posições em Distância total = x(3) - x(2) = 50,25,cm - 21,75,cm = 28,50,cm s e Metade da distância = 28,50,cm2 = 14,25,cm s
Primeiro, vamos encontrar a metade da distância entre xmetade = x(2) + 14,25,cm = 21,75,cm + 14,25,cm = 36,00,cm e 36,00 = 9,75 + 1,50 t^3 :
36,00 - 9,75 = 1,50 t^3 â
26,25 = 1,50 t^3 â
Então, a posição onde a partícula está na metade é:
t^3 = 26,251,50 = 17,50
Agora, vamos encontrar o tempo t = raiz[3]17,50 approx 2,59,s correspondente a v(2,59) = 4,50 times (2,59)^2 approx 4,50 times 6,7081 approx 30,186,cm/s :
Agora, calculamos a velocidade instantânea em :

Passo 6

12e) Gráfico de x(t) = 9,75 + 1,50 t^3 em função de e indicação das respostas graficamente
Para plotar o gráfico de em função de , vamos considerar um intervalo de tempo que cubra os valores de interesse, por exemplo, de s até s.
A função é:
Plotando essa função, teremos uma curva que cresce de forma cúbica à medida que aumenta. Nos pontos s, s e s, podemos marcar as posições correspondentes e as velocidades instantâneas calculadas nos passos anteriores.
(Aqui, deveria haver um gráfico ilustrativo, mas como estamos em texto, recomendo utilizar uma ferramenta gráfica como o Desmos ou GeoGebra para visualizar a curva.)

Resposta

a) A velocidade média entre s e s é de 28,50 cm/s.
b) As velocidades instantâneas são:
  • Em s: 18,00 cm/s
  • Em s: 28,125 cm/s
  • Em s: 40,50 cm/s
c) A velocidade instantânea em s é de 40,50 cm/s.
d) A velocidade instantânea quando a partícula está na metade da distância entre s e s (aproximadamente em s) é de 30,186 cm/s.
e) O gráfico de em função de é uma curva cúbica crescente. As posições e velocidades calculadas podem ser indicadas nos pontos correspondentes do gráfico para melhor visualização.

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