A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo x é dada por , em que x está em centímetros e t em segundos. Calcule:
12a) a velocidade média durante o intervalo de tempo de a ;
12b) a velocidade instantânea em: e ;
12c) a velocidade instantânea em ;
12d) a velocidade instantânea quando a partícula está na metade da distância entre as posições em e t ;
12e) Plote o gráfico de x em função de t e indique suas respostas graficamente.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem a posição de uma partícula em função do tempo, que é dada por , onde está em centímetros e em segundos. Nosso objetivo aqui é calcular diferentes tipos de velocidade dessa partícula em intervalos e instantes específicos de tempo. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de velocidade média e velocidade instantânea, além de aplicar derivadas para encontrar a velocidade instantânea.

Passo 2

12a) Velocidade média entre s e s
A velocidade média ( ) em um intervalo de tempo é dada pela variação da posição dividida pela variação do tempo:
Vamos calcular e :
Agora, aplicando na fórmula da velocidade média:

Passo 3

12b) Velocidade instantânea em s, s e s
A velocidade instantânea é a derivada da função posição em relação ao tempo. Então, primeiro vamos encontrar a função velocidade :
Agora, substituímos os valores de na função :
Para :
Para :
Para :

Passo 4

12c) Velocidade instantânea em s
Já calculamos isso no passo anterior, mas vamos reafirmar:

Passo 5

12d) Velocidade instantânea quando a partícula está na metade da distância entre as posições em s e s
Primeiro, vamos encontrar a metade da distância entre e :
â
â
Então, a posição onde a partícula está na metade é:
Agora, vamos encontrar o tempo correspondente a :
Agora, calculamos a velocidade instantânea em :

Passo 6

12e) Gráfico de em função de e indicação das respostas graficamente
Para plotar o gráfico de em função de , vamos considerar um intervalo de tempo que cubra os valores de interesse, por exemplo, de s até s.
A função é:
Plotando essa função, teremos uma curva que cresce de forma cúbica à medida que aumenta. Nos pontos s, s e s, podemos marcar as posições correspondentes e as velocidades instantâneas calculadas nos passos anteriores.
(Aqui, deveria haver um gráfico ilustrativo, mas como estamos em texto, recomendo utilizar uma ferramenta gráfica como o Desmos ou GeoGebra para visualizar a curva.)

Resposta

a) A velocidade média entre s e s é de 28,50 cm/s.
b) As velocidades instantâneas são:
  • Em s: 18,00 cm/s
  • Em s: 28,125 cm/s
  • Em s: 40,50 cm/s
c) A velocidade instantânea em s é de 40,50 cm/s.
d) A velocidade instantânea quando a partícula está na metade da distância entre s e s (aproximadamente em s) é de 30,186 cm/s.
e) O gráfico de em função de é uma curva cúbica crescente. As posições e velocidades calculadas podem ser indicadas nos pontos correspondentes do gráfico para melhor visualização.

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