Se a altura do prédio for 32 metros, o ângulo de elevação do morteiro for 38^circ e a velocidade de lançamento tiver módulo de 468 km / h qual é o alcance máximo do morteiro?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um prédio com 32 metros de altura. De lá, alguém lança um morteiro com velocidade de 468 km/h num ângulo de 38 graus em relação ao chão. Nosso objetivo aqui é descobrir qual a distância máxima que esse morteiro vai percorrer antes de cair no chão. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimento de projéteis, que envolve decompor a velocidade em componentes horizontal e vertical e calcular o tempo que o morteiro leva para aterrissar.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a velocidade do morteiro de quilômetros por hora para metros por segundo, porque assim facilita nos cálculos. A fórmula para isso é dividir por 3,6.
468 , km/h = 4683,6 approx 130 , m/s
Agora, sabemos que a velocidade inicial do morteiro é de aproximadamente 130 metros por segundo.

Passo 3

Vamos decompor essa velocidade em suas componentes horizontal e vertical. Usamos o ângulo de lançamento para isso.
  • Componente horizontal ( vx = v cdot cos(theta) = 130 cdot cos(38^circ) ):
    vy = v cdot sin(theta) = 130 cdot sin(38^circ)
  • Componente vertical ( ):
Essas componentes nos ajudam a analisar o movimento em cada direção separadamente.

Passo 4

Vamos calcular os valores numéricos dessas componentes. Primeiro, precisamos calcular o valor de cos(38^circ) approx 0,7880 e sin(38^circ) approx 0,6157 :
vx = 130 cdot 0,7880 approx 102,44 , m/s
vy = 130 cdot 0,6157 approx 80,04 , m/s
Agora, multiplicamos pela velocidade inicial:

Passo 5

Agora, precisamos descobrir por quanto tempo o morteiro vai ficar no ar antes de tocar o chão. Para isso, usamos a equação do movimento vertical considerando a altura inicial do prédio:
y = y0 + vy t - 12 g t^2
Onde:
  • 0 = 32 + 80,04 t - 12 cdot 9,8 cdot t^2 é a posição final (0, já que queremos quando ele toca o chão),
  • 0 = 32 + 80,04 t - 4,9 t^2 é a altura do prédio,
  • é a aceleração da gravidade,
  • é o tempo que queremos encontrar.
Substituindo:

Passo 6

Agora, temos uma equação quadrática na forma -4,9 t^2 + 80,04 t + 32 = 0 :
4,9 t^2 - 80,04 t - 32 = 0
Podemos multiplicar todos os termos por -1 para facilitar:
t = -b pm raizb^2 - 4 a c2 a
Usamos a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação:
Onde , , e .

Passo 7

Calculando o discriminante ( De):
De
raiz7033,6 approx 83,84
Agora, calculamos a raiz quadrada de :

Passo 8

Aplicando na fórmula de Bhaskara:
t = 80,04 pm 83,842 cdot 4,9
Temos duas soluções, mas vamos considerar apenas a positiva, já que tempo negativo não faz sentido:
t = 80,04 + 83,849,8 = 163,889,8 approx 16,72 , s
Então, o tempo total de voo é de aproximadamente 16,72 segundos.

Passo 9

Agora que temos o tempo de voo, podemos calcular o alcance horizontal ( R = vx cdot t = 102,44 cdot 16,72 approx 1711,06 , m ) usando a componente horizontal da velocidade:

Resposta

O alcance máximo do morteiro é de aproximadamente 1711 metros.

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