Se a altura do prédio for 32 metros, o ângulo de elevação do morteiro for e a velocidade de lançamento tiver módulo de qual é o alcance máximo do morteiro?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um prédio com 32 metros de altura. De lá, alguém lança um morteiro com velocidade de 468 km/h num ângulo de 38 graus em relação ao chão. Nosso objetivo aqui é descobrir qual a distância máxima que esse morteiro vai percorrer antes de cair no chão. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimento de projéteis, que envolve decompor a velocidade em componentes horizontal e vertical e calcular o tempo que o morteiro leva para aterrissar.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a velocidade do morteiro de quilômetros por hora para metros por segundo, porque assim facilita nos cálculos. A fórmula para isso é dividir por 3,6.
Agora, sabemos que a velocidade inicial do morteiro é de aproximadamente 130 metros por segundo.

Passo 3

Vamos decompor essa velocidade em suas componentes horizontal e vertical. Usamos o ângulo de lançamento para isso.
  • Componente horizontal ( ):
  • Componente vertical ( ):
Essas componentes nos ajudam a analisar o movimento em cada direção separadamente.

Passo 4

Vamos calcular os valores numéricos dessas componentes. Primeiro, precisamos calcular o valor de e :
Agora, multiplicamos pela velocidade inicial:

Passo 5

Agora, precisamos descobrir por quanto tempo o morteiro vai ficar no ar antes de tocar o chão. Para isso, usamos a equação do movimento vertical considerando a altura inicial do prédio:
Onde:
  • é a posição final (0, já que queremos quando ele toca o chão),
  • é a altura do prédio,
  • é a aceleração da gravidade,
  • é o tempo que queremos encontrar.
Substituindo:

Passo 6

Agora, temos uma equação quadrática na forma :
Podemos multiplicar todos os termos por -1 para facilitar:
Usamos a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação:
Onde , , e .

Passo 7

Calculando o discriminante ( ):
Agora, calculamos a raiz quadrada de :

Passo 8

Aplicando na fórmula de Bhaskara:
Temos duas soluções, mas vamos considerar apenas a positiva, já que tempo negativo não faz sentido:
Então, o tempo total de voo é de aproximadamente 16,72 segundos.

Passo 9

Agora que temos o tempo de voo, podemos calcular o alcance horizontal ( ) usando a componente horizontal da velocidade:

Resposta

O alcance máximo do morteiro é de aproximadamente 1711 metros.

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