A posição de uma partícula que se movimenta no plano xy é dada por r=[(2 m / s^3) t^3-(5 m / s) t] i+[(6 m)-(7 m / s^4 ) t^4] j. Calcule (a) r, (b) v, \mathrm{e}© \overrightarrow{\mathbf{a}}$ quando quando .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a posição de uma partícula que se move no plano xy, dada por um vetor posição r. A matéria que vamos usar aqui é a cinemática vetorial, que estuda o movimento de partículas usando vetores para descrever posição, velocidade e aceleração. Para resolver isso, vamos precisar calcular a posição r, a velocidade v e a aceleração a da partícula no instante t = 2,s.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a posição r no tempo t = 2,s. A fórmula da posição é:
r = [ (2,m/s^3) t^3 - (5,m/s) t ] i + [ (6,m) - (7,m/s^4) t^4 ] j
Substituindo t = 2,s:
Para a componente i:
(2,m/s^3) (2)^3 - (5,m/s) (2) = 2 times 8 - 10 = 16 - 10 = 6,m
Para a componente j:
6,m - 7,m/s^4 times (2)^4 = 6 - 7 times 16 = 6 - 112 = -106,m
Então, r = 6,i - 106,j,m.

Passo 3

Agora, vamos calcular a velocidade v. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja:
v = drdt
Derivando cada componente da posição:
Para a componente i:
ddt [ (2,m/s^3) t^3 - (5,m/s) t ] = 6,m/s^3 cdot t^2 - 5,m/s
Para a componente j:
ddt [ 6,m - (7,m/s^4) t^4 ] = -28,m/s^4 cdot t^3
Substituindo t = 2,s:
Para i:
6 times (2)^2 - 5 = 6 times 4 - 5 = 24 - 5 = 19,m/s
Para j:
-28 times (2)^3 = -28 times 8 = -224,m/s^2
Então, v = 19,i - 224,j,m/s.

Passo 4

Por último, vamos calcular a aceleração a. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou a segunda derivada da posição. Então:
a = dvdt = d^2rdt^2
Derivando cada componente da velocidade:
Para a componente i:
ddt [ 6,m/s^3 cdot t^2 - 5,m/s ] = 12,m/s^3 cdot t
Para a componente j:
ddt [ -28,m/s^4 cdot t^3 ] = -84,m/s^4 cdot t^2
Substituindo t = 2,s:
Para i:
12 times 2 = 24,m/s^2
Para j:
-84 times (2)^2 = -84 times 4 = -336,m/s^2
Então, a = 24,i - 336,j,m/s^2.

Resposta

Quando t = 2,s:
r = 6,i - 106,j,m
v = 19,i - 224,j,m/s
a = 24,i - 336,j,m/s^2

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