A posição de uma partícula em movimento retilíneo varia com o tempo de acordo com a relação x(t)=80-6 t^2+t^3, onde x e dado em cm e t em segundos. Calcule a aceleração media da partícula no intervalo de tempo compreendido entre os instantes t=3 s e t=5 s.

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conceitos Necessários
Estamos lidando com o movimento retilíneo de uma partícula cuja posição em função do tempo é dada por , onde está em centímetros e em segundos. O objetivo é calcular a aceleração média da partícula no intervalo de tempo entre segundos e segundos.
Conteúdos Envolvidos:
  • Cinemática: Estudo do movimento sem considerar suas causas.
  • Derivadas: Para encontrar a velocidade e a aceleração a partir da posição.
  • Aceleração Média: Mudança na velocidade dividida pelo intervalo de tempo.
Vamos precisar calcular a velocidade da partícula nos instantes s e s, e então usar esses valores para encontrar a aceleração média.

Passo 2

Encontrando a Velocidade a Partir da Posição
A velocidade ( v(t) = dxdt = ddt(80 - 6t^2 + t^3) = 0 - 12t + 3t^2 = -12t + 3t^2 ) é a derivada da posição em relação ao tempo. Vamos derivar a função :

Passo 3

Calculando a Velocidade nos Instantes v(3) = -12(3) + 3(3)^2 = -36 + 27 = -9 cm/s s e v(5) = -12(5) + 3(5)^2 = -60 + 75 = 15 cm/s s
Vamos substituir os valores de na expressão da velocidade:
Para s:
Para s:

Passo 4

Calculando a Aceleração Média
A aceleração média ( amédia = v(5) - v(3)5 - 3 = 15 - (-9)2 = 242 = 12 cm/s^2 é) é dada pela variação da velocidade dividida pelo intervalo de tempo:
é

Resposta

A aceleração média da partícula no intervalo entre s e s é de .

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