A posição de uma partícula em movimento retilíneo varia com o tempo de acordo com a relação , onde e dado em cm e t em segundos. Como variam com o tempo a velocidade e a aceleração da partícula?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a posição de uma partícula em movimento retilíneo, que varia com o tempo segundo a fórmula , onde está em centímetros e em segundos. Nosso objetivo é descobrir como a velocidade e a aceleração dessa partícula mudam conforme o tempo passa. Para isso, vamos precisar usar o cálculo diferencial, especificamente as derivadas, que nos ajudam a encontrar a taxa de variação de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar em relação a :

Passo 3

Vamos derivar cada termo individualmente:
  • A derivada de uma constante como 80 é 0.
  • A derivada de é (usando a regra do poder: multiplicamos o expoente por -6 e diminuímos o expoente em 1).
  • A derivada de é .
Então, juntando tudo:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a aceleração da partícula. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada da posição. Então, vamos derivar em relação a :

Passo 5

Derivando cada termo de :
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
Assim, a aceleração fica:

Resposta

A velocidade da partícula varia com o tempo segundo cm/s e a aceleração varia conforme cm/s².

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