Em um posto de saúde existem 5 lugares: os dois primeiros destinados a idosos e os outros três a outras pessoas. Certo dia, estavam no posto de saúde duas idosas e 5 pessoas não idosas. De quantas maneiras 5 pessoas podem sentar-se, obedecendo à preferência dos lugares?
a) 60
b) 120
c) 720
d) 30
e) 12
a) 60
b) 120
c) 720
d) 30
e) 12
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de arranjos, que é um conceito da combinatória, uma área da matemática que estuda métodos de contagem. Precisamos calcular de quantas maneiras 5 pessoas podem se sentar em 5 lugares específicos, respeitando a preferência dos assentos para idosos e não-idosos. Para isso, vamos usar fatorial e arranjos.
Passo 2
Primeiro, temos que identificar quantas pessoas de cada grupo vão ocupar os assentos reservados. Temos 2 assentos para idosos e 3 para não-idosos. Como só há 2 idosas disponíveis, elas vão ocupar necessariamente os 2 primeiros assentos.
Passo 3
Agora, vamos calcular de quantas maneiras essas 2 idosas podem se sentar nos 2 assentos destinados a elas. Como a ordem importa (cada assento é distinto), usamos o fatorial:
Então, há 2 maneiras de arrumar as idosas nos assentos.
Passo 4
Em seguida, precisamos arrumar as 3 pessoas não-idosas nos 3 assentos restantes. Temos 5 pessoas não-idosas disponíveis, e vamos escolher 3 delas para os assentos. Isso é um caso de arranjo, onde a ordem importa. A fórmula para arranjo de
elementos tomados
a
é:
Aplicando os números:
Então, há 60 maneiras de arrumar as não-idosas nos assentos.
Passo 5
Por fim, para encontrar o total de maneiras de arrumar todas as 5 pessoas respeitando as preferências dos assentos, multiplicamos as maneiras dos grupos:
Resposta
A quantidade de maneiras é 120, que corresponde à alternativa b).