A função de probabilidade da variável aleatória bidimensional
é dada por:
Determine:
c)
c)
Passo 1
Beleza, o enunciado nos dá uma função de probabilidade para duas variáveis aleatórias,
e
. A gente precisa encontrar o valor esperado de
, que é representado por
. Para isso, vamos usar os conceitos de probabilidade conjunta e valor esperado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função de probabilidade dada:
Isso significa que para cada valor de
de 1 até
,
pode assumir valores de 1 até
, e a probabilidade conjunta de
e
é constante e igual a
.
Passo 3
O valor esperado de
é calculado usando a fórmula:
Onde
é a probabilidade marginal de
. Para encontrar
, precisamos somar as probabilidades conjuntas sobre todos os possíveis valores de
para cada
.
Passo 4
Vamos encontrar
:
Já que estamos somando
termos iguais a
.
Passo 5
Agora, substituímos
na fórmula do valor esperado:
Passo 6
Precisamos calcular a soma dos quadrados dos primeiros
números naturais:
Essa é uma fórmula conhecida na matemática para somar quadrados.
Passo 7
Substituímos essa soma na expressão do valor esperado:
Resposta
O valor esperado de
é
.