A função de probabilidade da variável aleatória bidimensional (X, Y) é dada por:
P(x, y)=2n(n+1) x=1,2, ldots, n e y=1,2, ldots, x
Determine:
c) E(X)

Passo 1

Beleza, o enunciado nos dá uma função de probabilidade para duas variáveis aleatórias, e . A gente precisa encontrar o valor esperado de , que é representado por . Para isso, vamos usar os conceitos de probabilidade conjunta e valor esperado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função de probabilidade dada:
P(x, y)=2n(n+1) para x=1,2, ldots, n e y=1,2, ldots, x
Isso significa que para cada valor de de 1 até , pode assumir valores de 1 até , e a probabilidade conjunta de e é constante e igual a .

Passo 3

O valor esperado de E(X) = sumx=1^n x cdot PX(x) é calculado usando a fórmula:
Onde é a probabilidade marginal de . Para encontrar , precisamos somar as probabilidades conjuntas sobre todos os possíveis valores de para cada .

Passo 4

Vamos encontrar PX(x) = sumy=1^x P(x, y) = sumy=1^x 2n(n+1) = x cdot 2n(n+1) :
Já que estamos somando termos iguais a .

Passo 5

Agora, substituímos E(X) = sumx=1^n x cdot ( x cdot 2n(n+1) ) = 2n(n+1) sumx=1^n x^2 na fórmula do valor esperado:

Passo 6

Precisamos calcular a soma dos quadrados dos primeiros sumx=1^n x^2 = n(n+1)(2n+1)6 números naturais:
Essa é uma fórmula conhecida na matemática para somar quadrados.

Passo 7

Substituímos essa soma na expressão do valor esperado:
E(X) = 2n(n+1) cdot n(n+1)(2n+1)6 = 2(2n+1)6 = 2n+13

Resposta

O valor esperado de é .

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