A função de probabilidade da variável aleatória bidimensional é dada por:
Determine:
c)

Passo 1

Beleza, o enunciado nos dá uma função de probabilidade para duas variáveis aleatórias, e . A gente precisa encontrar o valor esperado de , que é representado por . Para isso, vamos usar os conceitos de probabilidade conjunta e valor esperado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função de probabilidade dada:
Isso significa que para cada valor de de 1 até , pode assumir valores de 1 até , e a probabilidade conjunta de e é constante e igual a .

Passo 3

O valor esperado de é calculado usando a fórmula:
Onde é a probabilidade marginal de . Para encontrar , precisamos somar as probabilidades conjuntas sobre todos os possíveis valores de para cada .

Passo 4

Vamos encontrar :
Já que estamos somando termos iguais a .

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula do valor esperado:

Passo 6

Precisamos calcular a soma dos quadrados dos primeiros números naturais:
Essa é uma fórmula conhecida na matemática para somar quadrados.

Passo 7

Substituímos essa soma na expressão do valor esperado:

Resposta

O valor esperado de é .

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b) 120
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