Se um potencial elétrico em um ponto ( x, y ) do plano xy é V(x, y) então o vetor de intensidade elétrica em um ponto ( x, y ) é E = -nabla V(x, y). Suponha que V(x, y) = e^(-2 x) cos(2 y). Determine o vetor intensidade elétrica em (pi/4, 0) e verifique que, em cada ponto do plano, o potencial elétrico decresce mais rapidamente na direção e sentido do vetor E.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um potencial elétrico no plano xy. Nosso objetivo é encontrar o vetor intensidade elétrica no ponto . Para isso, vamos precisar entender o que é o gradiente de um potencial e como calcular ele para obter o campo elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o vetor intensidade elétrica é dado por . O símbolo representa o operador gradiente, que calcula as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de :
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais, podemos montar o vetor gradiente :

Passo 5

Aplicando a definição do campo elétrico , temos:

Passo 6

Vamos agora substituir o ponto nos componentes de :
  • Para a componente em :
  • Para a componente em :

Passo 7

Portanto, o vetor intensidade elétrica no ponto é:

Passo 8

Agora, para verificar que o potencial elétrico decresce mais rapidamente na direção e sentido do vetor , lembramos que o gradiente aponta na direção de máxima variação de . Como , isso significa que aponta na direção onde diminui mais rapidamente.

Resposta

O vetor intensidade elétrica no ponto é , e o potencial elétrico decresce mais rapidamente na direção e sentido desse vetor em cada ponto do plano.

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