Um prédio possui 22 andares com 3 metros de altura cada andar. O prédio possui base quadrada de 1200 m^2. O prédio é localizado em região sujeita a fortes ventos. As fundações do prédio foram projetadas para resistir a um momento na base do prédio de 90 MJ. Estime o vento máximo que o prédio é capaz de resistir, sabendo que o coeficiente de arrasto de uma estrutura retangular muito comprida é igual a CD=1,05 e que o ar está a 20^circ C.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um prédio com 22 andares, cada um com 3 metros de altura, totalizando 66 metros de altura. A base do prédio é quadrada e tem uma área de . O prédio está em uma região com ventos fortes, e as fundações foram projetadas para aguentar um momento de 90 MJ na base. A gente precisa estimar qual é a velocidade máxima do vento que o prédio consegue resistir. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de força do vento, momento e algumas propriedades do ar, como a densidade.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a densidade do ar. A densidade do ar ( rho = pR cdot T ) depende da temperatura e pode ser calculada usando a fórmula:
rho = 101325287 cdot 293,15 approx 1,204 , kg/m^3
Onde:
  • é a pressão atmosférica (vamos usar , que é a pressão ao nível do mar).
  • é a constante dos gases para o ar ( ).
  • é a temperatura absoluta em Kelvin. Como a temperatura é , em Kelvin fica .
Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular a força do vento ( F = 12 cdot rho cdot V^2 cdot CD cdot A ) que atua no prédio. A força do vento pode ser calculada pela fórmula:
Onde:
  • é a velocidade do vento que queremos encontrar.
  • é o coeficiente de arrasto ( no caso).
  • é a área de referência sobre a qual a força é aplicada. Para um prédio de base quadrada, a área de referência é a área frontal, que é a altura vezes a largura do prédio. Como a base é , cada lado da base é . Então, a área frontal .

Passo 4

A força do vento gera um momento ( M = F cdot H ) na base do prédio, que é dado por:
90 times 10^6 = 12 cdot rho cdot V^2 cdot CD cdot A cdot H
Onde é a altura do prédio. Sabemos que o momento máximo que as fundações podem resistir é .
Então,

Passo 5

Vamos isolar V^2 = 2Mrho cdot CD cdot A cdot H na equação para encontrar a velocidade máxima do vento:
V = raiz2Mrho cdot CD cdot A cdot H

Passo 6

Substituindo os valores:
V = raiz2 cdot 90 times 10^61,204 cdot 1,05 cdot 2282,24 cdot 66
Vamos calcular o denominador primeiro:
1,204 cdot 1,05 cdot 2282,24 cdot 66 approx 1,204 times 1,05 times 2282,24 times 66 approx 190947,7
Então,
V = raiz180 times 10^6190947,7 approx raiz943,4 approx 30,72 , m/s

Resposta

A velocidade máxima do vento que o prédio consegue resistir é aproximadamente .

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