Um prédio possui 22 andares com 3 metros de altura cada andar. O prédio possui base quadrada de
. O prédio é localizado em região sujeita a fortes ventos. As fundações do prédio foram projetadas para resistir a um momento na base do prédio de 90 MJ. Estime o vento máximo que o prédio é capaz de resistir, sabendo que o coeficiente de arrasto de uma estrutura retangular muito comprida é igual a
e que o ar está a
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um prédio com 22 andares, cada um com 3 metros de altura, totalizando 66 metros de altura. A base do prédio é quadrada e tem uma área de
. O prédio está em uma região com ventos fortes, e as fundações foram projetadas para aguentar um momento de 90 MJ na base. A gente precisa estimar qual é a velocidade máxima do vento que o prédio consegue resistir. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de força do vento, momento e algumas propriedades do ar, como a densidade.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a densidade do ar. A densidade do ar (
) depende da temperatura e pode ser calculada usando a fórmula:
Onde:
-
é a pressão atmosférica (vamos usar , que é a pressão ao nível do mar). -
é a constante dos gases para o ar ( ). -
é a temperatura absoluta em Kelvin. Como a temperatura é , em Kelvin fica .
Então,
Passo 3
Agora, vamos calcular a força do vento (
) que atua no prédio. A força do vento pode ser calculada pela fórmula:
Onde:
-
é a velocidade do vento que queremos encontrar. -
é o coeficiente de arrasto ( no caso). -
é a área de referência sobre a qual a força é aplicada. Para um prédio de base quadrada, a área de referência é a área frontal, que é a altura vezes a largura do prédio. Como a base é , cada lado da base é . Então, a área frontal .
Passo 4
A força do vento gera um momento (
) na base do prédio, que é dado por:
Onde
é a altura do prédio. Sabemos que o momento máximo que as fundações podem resistir é
.
Então,
Passo 5
Vamos isolar
na equação para encontrar a velocidade máxima do vento:
Passo 6
Substituindo os valores:
Vamos calcular o denominador primeiro:
Então,
Resposta
A velocidade máxima do vento que o prédio consegue resistir é aproximadamente
.