A pressão e o volume iniciais de um gás diatômico ideal são pi= 2,00 times 10^5 Pa e Vi=4,00 times 10^-6 m^3. Determine: (a) o trabalho W realizado pelo gás e (b) a variação De da energia interna se o gás sofre uma expansão adiabática até atingir o volume Vf=8,00 times 10^-6 m^3. Suponha que as moléculas giram, mas não oscilam, durante o processo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um gás diatômico ideal que tem uma pressão inicial de e um volume inicial de . Queremos descobrir duas coisas: (a) o trabalho realizado pelo gás quando ele expande adiabaticamente até um volume final de , e (b) a variação da energia interna desse gás nesse processo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, especificamente as leis dos gases ideais e processos adiabáticos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um processo adiabático. Em um processo adiabático, não há troca de calor com o ambiente ( p V^gamma = constante ). Isso significa que toda a energia que o gás usa ou ganha está relacionada ao trabalho que ele faz ou sofre. A equação que descreve esse tipo de processo para um gás ideal é:
onde é o índice adiabático, que depende do tipo de gás. Para um gás diatômico, que tem duas moléculas (como o oxigênio ou nitrogênio), geralmente é ou 1,4.

Passo 3

Vamos calcular o trabalho realizado pelo gás durante a expansão adiabática. A fórmula para o trabalho W = pi Vi - pf Vfgamma - 1 em um processo adiabático é:
pi Vi^gamma = pf Vf^gamma
Mas primeiro precisamos encontrar a pressão final pf = pi ( ViVf )^gamma . Como pf = 2,00 times 10^5 , Pa times ( 4,00 times 10^-6 , m^38,00 times 10^-6 , m^3 )^1,4 , podemos escrever:
pf approx 2,00 times 10^5 , Pa times 0,378 approx 7,56 times 10^4 , Pa
Resolvendo para :
Substituindo os valores:
Calculando :

Passo 4

Agora que temos W = pi Vi - pf Vfgamma - 1 , vamos calcular o trabalho W = 2,00 times 10^5 , Pa times 4,00 times 10^-6 , m^3 - 7,56 times 10^4 , Pa times 8,00 times 10^-6 , m^31,4 - 1 :
2,00 times 10^5 times 4,00 times 10^-6 = 0,8 , J
Substituindo os valores:
7,56 times 10^4 times 8,00 times 10^-6 = 0,605 , J
Calculando cada termo:
W = 0,8 , J - 0,605 , J0,4 = 0,195 , J0,4 approx 0,4875 , J
Então:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a variação da energia interna De. Em um processo adiabático, como não há troca de calor ( De), a variação da energia interna é igual ao trabalho realizado:
Então:

Resposta

(a) O trabalho realizado pelo gás é aproximadamente .
(b) A variação da energia interna é .

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