Presumindo que o fio do dipolo é de cobre, cuja condutividade é de 5,7 times 10^7 S / m, determine, na frequềncia f=1 GHz, TOE quando a antena está conectada a uma linha de transmissão de 50 ohms.

Passo 1

Então, galera! A gente tem um exercício que fala sobre um dipolo de cobre com condutividade de . A questão quer saber, na frequência de , qual é a eficiência de transmissão (vou chamar de TOE) quando a antena está conectada a uma linha de transmissão de . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a condutividade dos materiais, perda por efeito pelicular (skin effect) em altas frequências e como calcular a eficiência de uma antena.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a condutividade ( ) do cobre é dada como . A condutividade é uma medida de quão bem um material conduz eletricidade. Quanto maior a condutividade, menor a resistência elétrica.

Passo 3

Agora, como estamos lidando com uma frequência bem alta ( de), precisamos considerar o efeito pelicular. Esse efeito faz com que a corrente elétrica se concentre nas superfícies do fio, aumentando a resistência efetiva do material. Para calcular a resistência devido ao efeito pelicular, usamos a profundidade de penetração ( ), que é dada por:
onde:
  • é a frequência angular,
  • é a frequência,
  • é a permeabilidade magnética do material ( para cobre, onde ),
  • é a condutividade elétrica.

Passo 4

Vamos calcular omega = 2pi f = 2pi times 1 times 10^9 , Hz approx 6,28 times 10^9 , rad/s :

Passo 5

Agora, calculamos a profundidade de penetração ( de):
omega mu sigma = 6,28 times 10^9 times 4pi times 10^-7 times 5,7 times 10^7 approx 4,53 times 10^11
Primeiro, calculamos o denominador:
de
Então,

Passo 6

Com a profundidade de penetração conhecida, podemos calcular a resistência efetiva do fio devido ao efeito pelicular. A resistência por unidade de comprimento ( R' = 1sigma de) é dada por:
onde é a área da seção transversal efetiva para a corrente. Para um fio circular, , mas considerando o efeito pelicular, efetiva será aproximadamente , onde é o raio do fio.

Passo 7

No entanto, como não temos o dado do raio do fio ( R' approx 1sigma times 2pi a times de), vamos assumir que o fio é suficientemente fino para que o efeito pelicular predomine totalmente. Assim, podemos simplificar a resistência:
Sem o valor de , não podemos continuar numericamente, mas essa fórmula mostra como a resistência depende do raio e da profundidade de penetração.

Passo 8

Para calcular a eficiência de transmissão (TOE), precisamos considerar a resistência radiante ( eta = RradRrad + Rloss ) e a resistência de perda ( ). A eficiência ( ) é dada por:
A resistência radiante para um dipolo apropriado é geralmente conhecida ou pode ser calculada com base na teoria das antenas.

Passo 9

Assumindo que eta = 7373 + Rloss para um dipolo de meia onda (valor típico), e substituindo na fórmula da eficiência:
Como não temos sem o raio do fio, a eficiência dependerá diretamente desse valor.

Passo 10

Portanto, para determinar a eficiência de transmissão (TOE), precisaríamos conhecer o raio do fio do dipolo. Com essa informação, poderíamos calcular usando as fórmulas mencionadas e, em seguida, calcular para obter a eficiência desejada.

Resposta

Sem o valor do raio do fio do dipolo, não é possível calcular numericamente a eficiência de transmissão (TOE). Com o raio conhecido, aplicaríamos as fórmulas de resistência por efeito pelicular e, subsequentemente, calcularíamos a eficiência eta = 7373 + Rloss usando:

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