Pretende-se criar uma senha de 4 dígitos distintos a serem escolhidos entre os 10 algarismos existentes na base decimal. O número dessas senhas que possuem apenas um dígito par é igual a
A 240
B 300
C 960
D 1200
E 1440.
A 240
B 300
C 960
D 1200
E 1440.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre criar uma senha de 4 dígitos distintos escolhidos entre os 10 algarismos da base decimal (0 a 9). Precisamos descobrir quantas dessas senhas têm apenas um dígito par. Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinação e permutação, que são parte da combinatória.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar quais são os dígitos pares e os dígitos ímpares na base decimal.
- Dígitos pares: 0, 2, 4, 6, 8 (total de 5)
- Dígitos ímpares: 1, 3, 5, 7, 9 (total de 5)
Passo 3
Como a senha deve ter apenas um dígito par, isso significa que os outros 3 dígitos devem ser ímpares. Vamos calcular quantas maneiras temos de escolher esses dígitos.
Passo 4
Primeiro, escolhemos qual posição na senha será ocupada pelo dígito par. Como a senha tem 4 dígitos, temos 4 opções de posição para o dígito par.
Passo 5
Agora, escolhemos qual dígito par será colocado nessa posição. Temos 5 dígitos pares disponíveis (0, 2, 4, 6, 8), então temos 5 opções para esse dígito.
Passo 6
Em seguida, precisamos escolher os 3 dígitos ímpares restantes. Como temos 5 dígitos ímpares (1, 3, 5, 7, 9) e precisamos escolher 3 deles, sem repetição, usamos a combinação:
Então, temos 10 maneiras de escolher os dígitos ímpares.
Passo 7
Agora, temos que arranjar esses 4 dígitos (1 par e 3 ímpares) nas 4 posições da senha. Como todos os dígitos são distintos, o número de arranjos é dado por:
Passo 8
Por fim, para encontrar o total de senhas que atendem às condições, multiplicamos todas as possibilidades calculadas:
Passo 9
Ops, percebemos que houve um erro no cálculo anterior. Vamos corrigir:
Na verdade, não precisamos multiplicar pelas 4 posições separadamente, porque já consideramos a escolha da posição no passo 4. Portanto, o cálculo correto é:
Resposta
A quantidade de senhas que possuem apenas um dígito par é igual a 1200.
Alternativa D: 1200
Alternativa D: 1200