Pretende-se criar uma senha de 4 dígitos distintos a serem escolhidos entre os 10 algarismos existentes na base decimal. O número dessas senhas que possuem apenas um dígito par é igual a
A 240
B 300
C 960
D 1200
E 1440.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre criar uma senha de 4 dígitos distintos escolhidos entre os 10 algarismos da base decimal (0 a 9). Precisamos descobrir quantas dessas senhas têm apenas um dígito par. Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinação e permutação, que são parte da combinatória.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quais são os dígitos pares e os dígitos ímpares na base decimal.
  • Dígitos pares: 0, 2, 4, 6, 8 (total de 5)
  • Dígitos ímpares: 1, 3, 5, 7, 9 (total de 5)

Passo 3

Como a senha deve ter apenas um dígito par, isso significa que os outros 3 dígitos devem ser ímpares. Vamos calcular quantas maneiras temos de escolher esses dígitos.

Passo 4

Primeiro, escolhemos qual posição na senha será ocupada pelo dígito par. Como a senha tem 4 dígitos, temos 4 opções de posição para o dígito par.

Passo 5

Agora, escolhemos qual dígito par será colocado nessa posição. Temos 5 dígitos pares disponíveis (0, 2, 4, 6, 8), então temos 5 opções para esse dígito.

Passo 6

Em seguida, precisamos escolher os 3 dígitos ímpares restantes. Como temos 5 dígitos ímpares (1, 3, 5, 7, 9) e precisamos escolher 3 deles, sem repetição, usamos a combinação:
C(5, 3) = 5!3! times (5-3)! = 10
Então, temos 10 maneiras de escolher os dígitos ímpares.

Passo 7

Agora, temos que arranjar esses 4 dígitos (1 par e 3 ímpares) nas 4 posições da senha. Como todos os dígitos são distintos, o número de arranjos é dado por:
4! = 4 times 3 times 2 times 1 = 24

Passo 8

Por fim, para encontrar o total de senhas que atendem às condições, multiplicamos todas as possibilidades calculadas:
Total = (Posições para o par) times (Escolha do dígito par) times (Escolha dos dígitos ímpares) times (Arranjos) = 4 times 5 times 10 times 24 = 4800 çõííí

Passo 9

Ops, percebemos que houve um erro no cálculo anterior. Vamos corrigir:
Na verdade, não precisamos multiplicar pelas 4 posições separadamente, porque já consideramos a escolha da posição no passo 4. Portanto, o cálculo correto é:
Total = (Escolha do dígito par) times (Escolha dos dígitos ímpares) times (Arranjos) = 5 times 10 times 24 = 1200 ííí

Resposta

A quantidade de senhas que possuem apenas um dígito par é igual a 1200.
Alternativa D: 1200

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