a) y'' - 2 y' - 3 y = 3 e^(2 t)
b) y'' + 2 y' + 5 y = 3 sen(2 t)
c) y'' - y' - 2y = -2t + 4t^2;
d) y'' - y' = -3
e) y'' + 2y' = 3 + 4sen(2t)
f) y'' + 9y = t^2 e^(3t) + 6
g) y'' + 2y' + y = 2e^(-t)
h) y'' + y = 3 sen(2t) + t cos(2t)
i) y'' + y = 2 t sen(t);
j) u'' + omega_0^2 u = cos(omega t), sendo omega^2 != omega_0^2;
k) u'' + omega0^2 * u = cos(omega0 * t);
  1. y'' - 2y' - 3y = -3t e^(-t)
    m) y'' - 10y' + 25y = 30t + 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo. Para resolver, vamos precisar encontrar duas partes: a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular para a equação completa. No final, vamos somar essas duas soluções para achar a resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Para isso, a gente monta a equação característica substituindo por , o que nos dá:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de .

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos duas raízes:

Passo 4

Com as raízes e , a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se fornecidas.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o termo não homogêneo é da forma , vamos supor uma solução particular também exponencial:
Onde é uma constante a ser determinada.

Passo 6

Vamos derivar para substituir na equação original:

Passo 7

Substituindo , e na equação :
Simplificando:

Passo 8

Resolvendo para :
Então, a solução particular é:

Passo 9

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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