a)
;
b)
;
c)
;
d)
e)
;
f)
.
b)
c)
d)
e)
f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
no intervalo
. Isso pertence à matéria de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO), especificamente as equações diferenciais lineares não homogêneas de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral que é composta pela solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Resolver a homogênea nos dá a base das soluções sobre as quais vamos construir a solução geral.
Passo 3
Para resolver
, assumimos soluções do tipo
. Substituindo na equação:
Como
nunca é zero, temos
, então
.
Passo 4
Com raízes complexas
, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o termo não homogêneo é
, que é uma função que não se ajusta diretamente a métodos padrão como coeficientes indeterminados, vamos usar o método de Variação dos Parâmetros.
Passo 6
No método de Variação dos Parâmetros, assumimos que as constantes
e
são funções de
. Portanto, propomos:
Passo 7
Calculamos as derivadas de
:
Passo 8
Impondo que
para simplificar as expressões, e substituindo
e
na equação original, obtemos:
Substituindo as expressões:
Passo 9
Resolvemos o sistema de equações:
Multiplicando a primeira equação por
e a segunda por
e somando, conseguimos encontrar
:
Integrando:
Desconsideramos a constante de integração para a solução particular, então:
Substituindo em
:
Integrando:
Novamente, desconsideramos a constante.
Passo 10
Finalmente, a solução particular é:
Substituindo
e
:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
no intervalo
é:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Exercícios relacionados
a)
, sendo
e
, e sabendo que
é solução da equação homogênea associada;
b) , sendo
e
, e sabendo que
é solução da equação homogênea associada.
b)
Descida qual é o menor dos dois números dados:
e
Determine um valor de
para que
seja uma solução particular para a equação diferencial
.
Descida se as desigualdades são verdadeiras ou falsas: