a) y'' + y = tg(t), 0 < t < pi/2;
b) y'' + 4y' + 4y = t^(-2) e^(-2t), t > 0;
c) y'' + 4y = 3 csc(2t), 0 < t < pi/2;
d) y'' + 9y = 9 sec(3t)^2, 0 < t < pi/6
e) 4 y'' + y = 2 sec(t / 2), -pi < t < pi;
f) y'' - 2y' + y = e^t / (1 + t^2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial no intervalo . Isso pertence à matéria de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO), especificamente as equações diferenciais lineares não homogêneas de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral que é composta pela solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Resolver a homogênea nos dá a base das soluções sobre as quais vamos construir a solução geral.

Passo 3

Para resolver , assumimos soluções do tipo . Substituindo na equação:
Como nunca é zero, temos , então .

Passo 4

Com raízes complexas , a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o termo não homogêneo é , que é uma função que não se ajusta diretamente a métodos padrão como coeficientes indeterminados, vamos usar o método de Variação dos Parâmetros.

Passo 6

No método de Variação dos Parâmetros, assumimos que as constantes e são funções de . Portanto, propomos:

Passo 7

Calculamos as derivadas de :

Passo 8

Impondo que para simplificar as expressões, e substituindo e na equação original, obtemos:
Substituindo as expressões:

Passo 9

Resolvemos o sistema de equações:
Multiplicando a primeira equação por e a segunda por e somando, conseguimos encontrar :
Integrando:
Desconsideramos a constante de integração para a solução particular, então:
Substituindo em :
Integrando:
Novamente, desconsideramos a constante.

Passo 10

Finalmente, a solução particular é:
Substituindo e :
Simplificando:

Resposta

A solução geral da equação diferencial no intervalo é:
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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