Determine um valor de
para que
seja uma solução particular para a equação diferencial
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de equação diferencial onde precisamos encontrar um valor para
de forma que a função
seja uma solução dessa equação. Vamos usar conhecimentos de cálculo, como derivadas, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
em relação a
. Se
, então a derivada
é:
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na equação diferencial dada:
Substituindo:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão:
Passo 5
Agora, colocamos todos os termos do mesmo lado para facilitar a resolução:
Fatorando
:
Simplificando dentro do parênteses:
Passo 6
Para que a equação seja verdadeira para todo
, o coeficiente de
deve ser zero:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Passo 7
Fatorando
:
Então, temos duas soluções possíveis:
-
-
que dá
Passo 8
Analisando as soluções,
nos daria
, que é uma solução trivial. A solução interessante é
.
Resposta
O valor de
que faz
ser uma solução da equação diferencial é
.
Exercícios relacionados
a)
;
b) ;
c) ;
d)
e) ;
f) .
b)
c)
d)
e)
f)
a)
, sendo
e
, e sabendo que
é solução da equação homogênea associada;
b) , sendo
e
, e sabendo que
é solução da equação homogênea associada.
b)
Descida se as desigualdades são verdadeiras ou falsas:
Descida se as desigualdades são verdadeiras ou falsas: