Determine um valor de para que seja uma solução particular para a equação diferencial .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de equação diferencial onde precisamos encontrar um valor para de forma que a função seja uma solução dessa equação. Vamos usar conhecimentos de cálculo, como derivadas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação a . Se , então a derivada é:

Passo 3

Agora, vamos substituir e na equação diferencial dada:
Substituindo:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão:

Passo 5

Agora, colocamos todos os termos do mesmo lado para facilitar a resolução:
Fatorando :
Simplificando dentro do parênteses:

Passo 6

Para que a equação seja verdadeira para todo , o coeficiente de deve ser zero:
Multiplicando ambos os lados por -1:

Passo 7

Fatorando :
Então, temos duas soluções possíveis:
  1. que dá

Passo 8

Analisando as soluções, nos daria , que é uma solução trivial. A solução interessante é .

Resposta

O valor de que faz ser uma solução da equação diferencial é .

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a) ;
b) ;
c) ;
d)
e) ;
f) .
a) , sendo e , e sabendo que é solução da equação homogênea associada;
b) , sendo e , e sabendo que é solução da equação homogênea associada.
Descida se as desigualdades são verdadeiras ou falsas:
Descida se as desigualdades são verdadeiras ou falsas: