a)
b)
;
c)
;
d)
;
e)
,
.
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma equação diferencial do tipo:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea. A gente já conhece uma solução particular da equação homogênea associada, que é
. Para resolver essa equação, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais lineares, como o método da variação dos parâmetros ou encontrar a solução geral combinando a solução homogênea com uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação homogênea associada, que é:
Sabemos que
é uma solução dessa equação. Para encontrar a solução geral da homogênea, precisamos encontrar uma segunda solução independente. Vamos usar o método de redução de ordem.
Passo 3
Assumimos que a segunda solução
pode ser escrita como:
Onde
é uma função que precisamos determinar. Vamos calcular as derivadas de
:
Passo 4
Substituindo
e suas derivadas na equação homogênea:
Simplificando:
Passo 5
Dividindo toda a equação por
:
Vamos reescrever essa equação para facilitar a integração:
Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem para
. Vamos substituir
:
Passo 6
Essa é uma equação linear de primeira ordem, cuja solução geral é:
Onde
é uma constante de integração. Agora, integramos
para encontrar
:
Onde
é outra constante de integração. Podemos simplificar absorvendo constantes:
Passo 7
Agora, temos a segunda solução
:
Como estamos procurando uma solução independente, podemos escolher
:
Passo 8
Com as duas soluções homogêneas
e
, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes.
Passo 9
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea:
Assumiremos que a solução particular tem a forma de um polinômio. Vamos tentar:
Calculando as derivadas:
Passo 10
Substituindo
e suas derivadas na equação:
Simplificando:
Aqui vemos que a nossa suposição não funcionou, pois os termos não coincidem. Isso acontece porque
já é uma solução da homogênea. Então, precisamos multiplicar nossa suposição por
:
Vamos tentar:
Passo 11
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Passo 12
Para os lados equivalentes, igualamos os coeficientes:
Para :
→
Para
Para
: Nenhum termo → 0 = 3 → Contradição
Isso indica que precisamos ajustar nossa suposição. Vamos tentar incluir mais termos. Vamos supor:
Passo 13
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Passo 14
Agora, igualamos os coeficientes:
Para :
Para
Para
:
Para termos constantes:
Não temos termos constantes no lado esquerdo, então não há necessidade de ajustar mais.
Não temos termos constantes no lado esquerdo, então não há necessidade de ajustar mais.
Passo 15
Com
e
, a solução particular é:
Passo 16
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
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