a) t^2 y'' - 2 y = 3 t^2 - 1, t > 0, y1(t) = t^2
b) t y'' - (1+t) y' + y = t^2 e^(2t), t > 0, y1(t) = e^t;
c) x^2 y'' - 3 x y' + 4 y = x^2 ln(x), x > 0, y1(x) = x^2;
d) x y'' + (1 - 2 x) y' + (x - 1) y = e^x, x > 0, y1(x) = e^x;
e) x y'' - 2 x cotg(x) y' + x(1 + 2 cotg^2(x)) y = sen(x) ln(x), x > 0, y1(x) = sen(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma equação diferencial do tipo:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea. A gente já conhece uma solução particular da equação homogênea associada, que é . Para resolver essa equação, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais lineares, como o método da variação dos parâmetros ou encontrar a solução geral combinando a solução homogênea com uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação homogênea associada, que é:
Sabemos que é uma solução dessa equação. Para encontrar a solução geral da homogênea, precisamos encontrar uma segunda solução independente. Vamos usar o método de redução de ordem.

Passo 3

Assumimos que a segunda solução pode ser escrita como:
Onde é uma função que precisamos determinar. Vamos calcular as derivadas de :

Passo 4

Substituindo e suas derivadas na equação homogênea:
Simplificando:

Passo 5

Dividindo toda a equação por :
Vamos reescrever essa equação para facilitar a integração:
Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem para . Vamos substituir :

Passo 6

Essa é uma equação linear de primeira ordem, cuja solução geral é:
Onde é uma constante de integração. Agora, integramos para encontrar :
Onde é outra constante de integração. Podemos simplificar absorvendo constantes:

Passo 7

Agora, temos a segunda solução :
Como estamos procurando uma solução independente, podemos escolher :

Passo 8

Com as duas soluções homogêneas e , a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes.

Passo 9

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
Assumiremos que a solução particular tem a forma de um polinômio. Vamos tentar:
Calculando as derivadas:

Passo 10

Substituindo e suas derivadas na equação:
Simplificando:
Aqui vemos que a nossa suposição não funcionou, pois os termos não coincidem. Isso acontece porque já é uma solução da homogênea. Então, precisamos multiplicar nossa suposição por :
Vamos tentar:

Passo 11

Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:

Passo 12

Para os lados equivalentes, igualamos os coeficientes:
Para :
Para : Nenhum termo → 0 = 3 → Contradição
Isso indica que precisamos ajustar nossa suposição. Vamos tentar incluir mais termos. Vamos supor:

Passo 13

Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:

Passo 14

Agora, igualamos os coeficientes:
Para :
Para :
Para termos constantes:
Não temos termos constantes no lado esquerdo, então não há necessidade de ajustar mais.

Passo 15

Com e , a solução particular é:

Passo 16

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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