Para um principiante em corrida, foi estipulado o seguinte plano de treinamento diário: correr 300 metros no primeiro dia e aumentar 200 metros por dia, a partir do segundo. Para contabilizar seu rendimento, ele utilizará um chip, preso ao seu tênis, para medir a distância percorrida nos treinos. Considere que esse chip armazene, em sua memória, no máximo 9,5 km de corrida/caminhada, devendo ser colocado no momento do início do treino e descartado após esgotar o espaço para reserva de dados.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos um iniciante na corrida que vai seguir um plano de treinamento onde ele corre 300 metros no primeiro dia e, a partir do segundo dia, aumenta a distância em 200 metros todo dia. Ele usa um chip no tênis que consegue armazenar até 9,5 km de corrida. Precisamos descobrir quantos dias ele consegue manter esse treino antes de ter que trocar o chip por falta de espaço. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sequências aritméticas e somas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a distância que ele corre aumenta a cada dia. No primeiro dia, ele corre 300 metros. A partir do segundo dia, ele adiciona 200 metros a mais do que no dia anterior. Isso forma uma sequência aritmética onde:
- Termo inicial (
) = 300 metros - Razão (
) = 200 metros
Então, a distância que ele corre no
-ésimo dia pode ser representada pela fórmula do
-ésimo termo de uma progressão aritmética:
Passo 3
Agora, queremos descobrir quantos dias ele consegue treinar antes de acumular mais de 9,500 metros (já que 9,5 km = 9,500 metros). Para isso, precisamos somar as distâncias dos dias até que a soma total atinja 9,500 metros.
A soma dos primeiros
termos de uma progressão aritmética é dada por:
Vamos igualar essa soma a 9,500 metros e resolver para
:
Passo 4
Vamos simplificar a equação:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 200:
Agora, resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
:
Desconsideramos a solução negativa, então:
Como não podemos ter uma fração de dia, arredondamos para baixo, ou seja, 8 dias.
Resposta
Ele consegue treinar 8 dias antes que o chip atinja sua capacidade máxima de 9,5 km.