Um dado equilibrado é lançado (independentemente) 21 vezes e seja Xj o número de vezes que o número j aparece, j=1, ldots, 6.
  1. Encontre as f.d.p2. Calcule a probabilidade de que X1 >= 5.

Passo 1

Então, vamos lá! Temos um dado equilibrado que é lançado 21 vezes, e queremos analisar quantas vezes cada número aparece. Especificamente, estamos focando no número 1 e queremos descobrir duas coisas: primeiro, qual é a função de distribuição de probabilidade para o número de vezes que o 1 aparece, e segundo, qual é a probabilidade de que o número 1 apareça pelo menos 5 vezes. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade discreta e distribuição binomial.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é a função de distribuição de probabilidade (f.d.p). Ela nos dá a probabilidade de cada resultado possível em um experimento aleatório. No nosso caso, cada lançamento do dado é um experimento, e estamos contando quantas vezes o número 1 aparece em 21 lançamentos.
Como o dado é equilibrado, a probabilidade de sair qualquer número, incluindo o 1, em um único lançamento é de $ \frac{1}{6} $. Como os lançamentos são independentes, podemos modelar o número de vezes que o 1 aparece usando a distribuição binomial. A distribuição binomial é apropriada aqui porque temos um número fixo de tentativas (21 lançamentos), cada tentativa tem dois resultados possíveis (sair 1 ou não sair 1), e as tentativas são independentes.
A fórmula da distribuição binomial é:
16
Onde:
  • $ n $ é o número de tentativas (21 lançamentos),
  • $ k $ é o número de sucessos que queremos (número de vezes que o 1 aparece),
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma tentativa ($ \frac{1}{6} $),
  • $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula o número de maneiras de escolher $ k $ sucessos em $ n $ tentativas.

Passo 3

Agora, aplicando os valores ao nosso caso, a função de distribuição de probabilidade para $ X_1 $ (número de vezes que o 1 aparece) fica assim:
X1
Isso significa que para cada valor de $ k $ de 0 a 21, podemos calcular a probabilidade de que o número 1 apareça exatamente $ k $ vezes nos 21 lançamentos.

Passo 4

Agora, vamos calcular a probabilidade de que $ X_1 \geq 5 $, ou seja, que o número 1 apareça pelo menos 5 vezes. Para isso, podemos somar as probabilidades de $ X_1 $ ser igual a 5, 6, 7, …, até 21. Isso é um pouco trabalhoso, então podemos usar a complementaridade:
X1 >= 5
Isso significa que vamos calcular a probabilidade de $ X_1 $ ser 0, 1, 2, 3 ou 4, somar essas probabilidades e subtrair o resultado de 1 para obter a probabilidade desejada.

Passo 5

Vamos calcular cada parte:
P(X1 <= 4) = P(X1 = 0) + P(X1 = 1) + P(X1 = 2) + P(X1 = 3) + P(X1 = 4)
Usando a fórmula da distribuição binomial para cada $ k $:
k
Vamos calcular cada termo:
  1. Para $ k = 0 $:
P(X1 = k) = binom21k ( 16 )^k ( 56 )^21 - k
  1. Para $ k = 1 $:
k = 0
  1. Para $ k = 2 $:
P(X1 = 0) = binom210 ( 16 )^0 ( 56 )^21 = 1 times 1 times ( 56 )^21
  1. Para $ k = 3 $:
k = 1
  1. Para $ k = 4 $:
P(X1 = 1) = binom211 ( 16 )^1 ( 56 )^20 = 21 times 16 times ( 56 )^20

Passo 6

Depois de calcular cada uma dessas probabilidades, somamos todas elas para obter $ P(X_1 \leq 4) $. Em seguida, subtraímos esse valor de 1 para encontrar $ P(X_1 \geq 5) $:
P(X1 <= 4)
Usando uma calculadora ou software estatístico, você pode obter o valor numérico dessa probabilidade.

Resposta

A probabilidade de que o número 1 apareça pelo menos 5 vezes em 21 lançamentos é aproximadamente 0,073 ou 7,3%.

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