Se a probabilidade de que nasça um homem é de 0,514, qual é a probabilidade de que haja menos homens que mulheres em 1000 nascimentos?
Passo 1
Vamos resolver um problema de probabilidade. A questão nos diz que a chance de nascer um menino é de 0,514. Queremos descobrir qual é a probabilidade de, em 1000 nascimentos, haver menos meninos do que meninas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição binomial e aproximação normal.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a distribuição binomial. Ela é usada para calcular a probabilidade de um certo número de sucessos em uma quantidade fixa de tentativas, quando cada tentativa tem duas possibilidades e as probabilidades são constantes. Aqui, cada nascimento é uma tentativa, com “sucesso” sendo o nascimento de um menino.
Passo 3
Definimos os parâmetros da distribuição binomial:
- Número de tentativas (n): 1000
- Probabilidade de sucesso §: 0,514
Queremos encontrar a probabilidade de ter menos de 500 meninos, ou seja, P(X < 500).
Passo 4
Calcular a média (μ) e o desvio padrão (σ) da distribuição binomial:
- Média (μ) = n * p = 1000 * 0,514 = 514
- Desvio padrão (σ) = √(n * p * (1 - p)) = √(1000 * 0,514 * 0,486) ≈ √(249,444) ≈ 15,8
Passo 5
Como n é grande, podemos aproximar a distribuição binomial por uma distribuição normal. Assim, transformamos o valor X=499 para o escore z da distribuição normal:
Passo 6
Consultamos a tabela da distribuição normal padrão para encontrar a probabilidade correspondente a z = -0,918. A tabela nos dá P(Z < -0,918) ≈ 0,179.
Passo 7
Portanto, a probabilidade de haver menos meninos que meninas em 1000 nascimentos é de aproximadamente 17,9%.
Resposta
A probabilidade de haver menos meninos que meninas em 1000 nascimentos é de aproximadamente 17,9%.