Qual a probabilidade de que o número de clientes no sistema esteja compreendido entre 1 e 20 incluídos?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pergunta: “Qual a probabilidade de que o número de clientes no sistema esteja compreendido entre 1 e 20 incluídos?”. Esse problema está relacionado ao Cálculo de Probabilidades, mais especificamente à Distribuição de Probabilidade de Eventos Discretos. Para resolver, vamos precisar entender como calcular probabilidades em uma distribuição adequada, como a distribuição de Poisson.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que o número de clientes no sistema segue uma Distribuição de Poisson, que é comum para modelar o número de eventos que ocorrem em um intervalo fixo de tempo ou espaço. A distribuição de Poisson é definida pela fórmula:
P(k; lambda) = e^-lambda lambda^kk!
Aqui, $ \lambda $ é o número médio de clientes no sistema e $ k $ é o número exato de clientes.

Passo 3

Queremos encontrar a probabilidade de ter entre 1 e 20 clientes no sistema, ou seja, $ P(1 \leq k \leq 20) $. Isso significa que precisamos somar as probabilidades de ter 1 cliente, 2 clientes, até 20 clientes:
P(1 <= k <= 20)

Passo 4

Substituindo a fórmula da distribuição de Poisson, temos:
P(1 <= k <= 20) = sumk=1^20 e^-lambda lambda^kk!

Passo 5

Para calcular essa soma, normalmente usamos calculadoras ou softwares estatísticos, pois calcular manualmente para cada valor de $ k $ de 1 a 20 pode ser muito trabalhoso. No entanto, podemos simplificar utilizando as propriedades da distribuição de Poisson.
Sabemos que a soma de todas as probabilidades para $ k $ de 0 a infinito é 1. Então, podemos reescrever a probabilidade desejada como:
k
Mas geralmente, $ P(k > 20) $ é muito pequeno e pode ser desprezado dependendo do valor de $ \lambda $.

Passo 6

Portanto, a probabilidade aproximada fica:
P(1 <= k <= 20) approx 1 - e^-lambda
Esse é um valor aproximado válido quando $ \lambda $ não é muito grande, o que faz com que $ P(k > 20) $ seja insignificante.

Resposta

A probabilidade de que o número de clientes no sistema esteja entre 1 e 20 incluídos é aproximadamente $ 1 - e^{-\lambda} $, onde $ \lambda $ é a média de clientes no sistema.

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