Em um sistema de uma fila e um servidor, foram medidos os seguintes dados:
Tempo gasto <br> no sistema por <br> cliente (hora) Probabilidade (%)
0,3 15
0,4 20
0,5 35
:—: :—:
0,6 15
0,7 10
0,8 5
A taxa de ociosidade do sistema é estimada em 10%. Pede-se:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema de fila com um servidor onde medimos quanto tempo cada cliente passa no sistema e a probabilidade de cada tempo acontecer. Além disso, sabemos que o sistema fica ocioso 10% do tempo. Nosso objetivo aqui é analisar esses dados para entender melhor o funcionamento do sistema, possivelmente calcular a taxa de chegada dos clientes ou outras métricas importantes. Para isso, vamos precisar usar conceitos de teoria das filas, como taxa de utilização e tempo médio no sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos tabular os dados que temos:
Tempo no sistema (hora) Probabilidade (%)
0,3 15
0,4 20
0,5 35
0,6 15
0,7 10
0,8 5
Esses dados nos dizem quanto tempo, em média, um cliente passa no sistema e qual a probabilidade desse tempo ocorrer.

Passo 3

Vamos começar calculando o Tempo Médio no Sistema ($ W $). Para isso, usamos a fórmula:
W
onde $ T_i $ é o tempo no sistema e $ P_i $ é a probabilidade desse tempo.

Passo 4

Vamos converter as porcentagens de probabilidade para valores decimais:
Pi = Probabilidade % / 100
Então temos:
Tempo no sistema (hora) Probabilidade ($ P_i $)
0,3 0,15
0,4 0,20
0,5 0,35
0,6 0,15
0,7 0,10
0,8 0,05

Passo 5

Agora, calculamos $ W $:
W
Vamos fazer as contas passo a passo:
W = (0,3 times 0,15) + (0,4 times 0,20) + (0,5 times 0,35) + (0,6 times 0,15) + (0,7 times 0,10) + (0,8 times 0,05)
Então, o tempo médio no sistema é de 0,5 horas.

Passo 6

Sabemos que a **Taxa de Ociosidade ($ p_0 p0 é \rho $) é dada por:
rho

Passo 7

Utilizando a fórmula da taxa de utilização para sistemas de fila do tipo M/M/1:
rho = lambda times W
Onde:
  • $ \lambda $ é a taxa de chegada dos clientes.
  • $ W $ é o tempo médio no sistema.
Queremos encontrar $ \lambda $, então rearranjamos a fórmula:
lambda

Passo 8

Substituindo os valores que temos:
lambda = 0,900,5 = 1,8 clientes por hora

Resposta

A taxa de chegada dos clientes é de 1,8 clientes por hora.

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