Em um sistema de uma fila e um servidor, foram medidos os seguintes dados:
Tempo gasto <br> no sistema por <br> cliente (hora) | Probabilidade (%) |
---|---|
0,3 | 15 |
0,4 | 20 |
0,5 | 35 |
:—: | :—: |
0,6 | 15 |
0,7 | 10 |
0,8 | 5 |
A taxa de ociosidade do sistema é estimada em 10%. Pede-se:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um sistema de fila com um servidor onde medimos quanto tempo cada cliente passa no sistema e a probabilidade de cada tempo acontecer. Além disso, sabemos que o sistema fica ocioso 10% do tempo. Nosso objetivo aqui é analisar esses dados para entender melhor o funcionamento do sistema, possivelmente calcular a taxa de chegada dos clientes ou outras métricas importantes. Para isso, vamos precisar usar conceitos de teoria das filas, como taxa de utilização e tempo médio no sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos tabular os dados que temos:
Tempo no sistema (hora) | Probabilidade (%) |
---|---|
0,3 | 15 |
0,4 | 20 |
0,5 | 35 |
0,6 | 15 |
0,7 | 10 |
0,8 | 5 |
Esses dados nos dizem quanto tempo, em média, um cliente passa no sistema e qual a probabilidade desse tempo ocorrer.
Passo 3
Vamos começar calculando o Tempo Médio no Sistema ($ W $). Para isso, usamos a fórmula:
onde $ T_i $ é o tempo no sistema e $ P_i $ é a probabilidade desse tempo.
Passo 4
Vamos converter as porcentagens de probabilidade para valores decimais:
Então temos:
Tempo no sistema (hora) | Probabilidade ($ P_i $) |
---|---|
0,3 | 0,15 |
0,4 | 0,20 |
0,5 | 0,35 |
0,6 | 0,15 |
0,7 | 0,10 |
0,8 | 0,05 |
Passo 5
Agora, calculamos $ W $:
Vamos fazer as contas passo a passo:
Então, o tempo médio no sistema é de 0,5 horas.
Passo 6
Sabemos que a **Taxa de Ociosidade ($ p_0
\rho $) é dada por:
Passo 7
Utilizando a fórmula da taxa de utilização para sistemas de fila do tipo M/M/1:
Onde:
- $ \lambda $ é a taxa de chegada dos clientes.
- $ W $ é o tempo médio no sistema.
Queremos encontrar $ \lambda $, então rearranjamos a fórmula:
Passo 8
Substituindo os valores que temos:
Resposta
A taxa de chegada dos clientes é de 1,8 clientes por hora.