Em um sistema o intervalo médio entre duas chegadas é IC = 10 minutos (ou lambda=6 chegadas por hora, distribuição exponencial). Pede-se a probabilidade de que o intervalo entre duas chegadas seja:

Passo 1

Vamos lá! A questão fala sobre chegadas em um sistema, onde o tempo médio entre duas chegadas é de 10 minutos, o que corresponde a uma taxa de lambda = 6 chegadas por hora. A distribuição que estamos usando aqui é a exponencial. Nosso objetivo é encontrar a probabilidade de que o intervalo entre duas chegadas seja um certo valor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é distribuição exponencial. Ela é usada para modelar o tempo entre eventos que acontecem de forma contínua e independente a uma taxa constante. No nosso caso, as chegadas são os eventos.

Passo 3

A fórmula da função de densidade da distribuição exponencial é:
f(t) = lambda e^-lambda t
onde:
  • f(t) é a densidade de probabilidade no tempo t,
  • lambda é a taxa de chegada (6 por hora),
  • t é o tempo entre as chegadas.

Passo 4

Para encontrar a probabilidade de que o intervalo entre duas chegadas seja exatamente um valor específico, na distribuição exponencial, isso na verdade é uma probabilidade de ocorrer em um ponto exato, o que é zero. Porém, provavelmente queremos a probabilidade de que o intervalo seja menor ou igual a um certo tempo.

Passo 5

Se assumirmos que queremos a probabilidade de que o intervalo seja menor ou igual a um tempo t, usamos a função de distribuição acumulada (CDF):
F(t) = 1 - e^-lambda t

Passo 6

Vamos supor que queremos encontrar a probabilidade de que o intervalo entre duas chegadas seja menor ou igual a, por exemplo, 5 minutos. Precisamos converter lambda para a mesma unidade de tempo. Como lambda = 6 chegadas por hora, em minutos seria lambda = 6/60 = 0,1 chegadas por minuto.

Passo 7

Substituindo os valores na fórmula da CDF:
F(5) = 1 - e^-0,1 times 5 = 1 - e^-0,5 approx 1 - 0,6065 = 0,3935

Resposta

A probabilidade de que o intervalo entre duas chegadas seja menor ou igual a 5 minutos é aproximadamente 39,35%.

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