(Problema 12) Um procedimento de controle de qualidade foi planejado para garantir um máximo de 10 % de itens defeituosos na produção. A cada 12 horas sorteia-se uma amostra de 40 peças e, havendo mais de 15% de defeituosas, encerra-se a produção para verificação do processo. Qual a probabilidade de uma parada desnecessária?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um controle de qualidade que quer garantir no máximo 10% de itens defeituosos na produção. A cada 12 horas, uma amostra de 40 peças é retirada. Se mais de 15% dessas peças forem defeituosas, a produção é parada para verificação. Nosso objetivo aqui é descobrir qual a probabilidade dessa parada acontecer sem necessidade, ou seja, quando a taxa real de defeitos é de até 10%.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que estamos lidando com uma distribuição binomial. Isso porque temos uma amostra de tamanho fixo (40 peças), cada peça pode ser defeituosa ou não (dois resultados possíveis), e a probabilidade de uma peça ser defeituosa é constante (10%).
A distribuição binomial é ótima para calcular a probabilidade de um certo número de sucessos em uma série de tentativas independentes. No nosso caso, um “sucesso” seria uma peça defeituosa.

Passo 3

Vamos definir nossos parâmetros:
  • n = 40 (número de peças na amostra)
  • p = 0,10 (probabilidade de uma peça ser defeituosa)
  • k = número de peças defeituosas que acionaria a parada (mais de 15% de 40, ou seja, mais de 6 peças)
Queremos calcular a probabilidade de ter mais de 6 peças defeituosas na amostra, mesmo que a taxa real seja de apenas 10%. Isso representaria uma parada desnecessária.

Passo 4

A probabilidade de exatamente k defeituosas em uma amostra de n é dada pela fórmula da distribuição binomial:
P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Mas como queremos a probabilidade de ter mais de 6 defeituosas, precisamos somar as probabilidades de ter 7, 8, …, até 40 defeituosas.
P(X > 6) = sumk=7^40 binom40k (0.10)^k (0.90)^40-k

Passo 5

Calcular essa soma diretamente pode ser trabalhoso, então podemos usar uma aproximação normal para facilitar.
Primeiro, calculamos a média (μ) e o desvio padrão (σ) da distribuição binomial:
mu = n times p = 40 times 0.10 = 4
sigma = raizn times p times (1 - p) = raiz40 times 0.10 times 0.90 approx 1.897

Passo 6

Para usar a aproximação normal, aplicamos a correção de continuidade. Queremos calcular a probabilidade de X > 6, então usamos X > 6.5 na distribuição normal.
Calculamos o z-score:
z = 6.5 - musigma = 6.5 - 41.897 approx 1.342

Passo 7

Consultando uma tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, encontramos a probabilidade correspondente a z = 1.342.
P(Z < 1.342) approx 0.9106
Então, a probabilidade de X > 6.5 é:
P(X > 6.5) = 1 - P(Z < 1.342) = 1 - 0.9106 = 0.0894

Resposta

A probabilidade de uma parada desnecessária é de aproximadamente 8,94%.

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