A mastite é uma doença que afeta rebanhos bovinos e traz grandes prejuízos na produção de leite. Em fazendas cujo manejo não segue padrões sanitários recomendados, a prevalência da doença nas vacas leiteiras é alta. O controle da epidemia pode ser feito instituindo um protocolo diário na limpeza dos equipamentos e ambiente que os animais convivem. Esse tipo de protocolo foi aplicado numa fazenda com alta infestação (
). Após 6 meses de instituído o protocolo, uma amostra de 500 vacas foi inspecionada. Destas, 355 se mostraram livres da mastite.
a) Esses resultados indicam que o protocolo contribui para diminuir a prevalência? Para sua resposta, teste as hipóteses:
vs
, usando
.
a) Esses resultados indicam que o protocolo contribui para diminuir a prevalência? Para sua resposta, teste as hipóteses:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a mastite em vacas leiteiras, uma doença que prejudica a produção de leite. Inicialmente, a prevalência da mastite era de 35% nas vacas de uma fazenda. Depois de implementar um protocolo diário de limpeza para controlar a doença, foi feita uma amostra de 500 vacas, das quais 355 estavam livres da mastite. Nosso objetivo aqui é descobrir se esse protocolo realmente ajudou a diminuir a prevalência da doença. Para isso, vamos usar um teste de hipóteses sobre proporções, que é uma ferramenta estatística para comparar uma proporção observada com uma proporção conhecida ou esperada.
Passo 2
Primeiro, precisamos definir as hipóteses que vamos testar. A hipótese nula,
, é que a proporção de vacas com mastite permanece a mesma, ou seja, 35%. A hipótese alternativa,
, é que a proporção diminuiu após o protocolo. Assim, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular a proporção observada na amostra. Foram inspecionadas 500 vacas e 355 estavam livres da mastite. Isso significa que 145 vacas tinham mastite.
Então, a proporção observada de vacas com mastite é de 29%.
Passo 4
Para testar nossas hipóteses, precisamos calcular o erro padrão da proporção. O erro padrão nos diz o quanto a proporção observada pode variar devido ao acaso. A fórmula do erro padrão para uma proporção é:
Onde:
-
(proporção inicial) -
(tamanho da amostra)
Vamos calcular:
Passo 5
Com o erro padrão calculado, vamos determinar o estatístico de teste (z-score), que nos ajuda a ver quão longe nossa proporção observada está da proporção da hipótese nula. A fórmula é:
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora, precisamos comparar nosso z-score com o valor crítico para um teste unilateral com nível de significância
. Para um teste à esquerda, o valor crítico de z para
é aproximadamente -1.645.
Como nosso z-score de -2.81 é menor que -1.645, significa que ele está na região crítica.
Passo 7
Como nosso z-score caiu na região crítica, rejeitamos a hipótese nula
. Isso significa que há evidências estatísticas suficientes para concluir que o protocolo de limpeza reduziu a prevalência de mastite nas vacas leiteiras da fazenda.
Resposta
Sim, os resultados indicam que o protocolo contribuiu para diminuir a prevalência da mastite nas vacas leiteiras, rejeitando a hipótese nula com
menor que -1.645 e significância de
.