A mastite é uma doença que afeta rebanhos bovinos e traz grandes prejuízos na produção de leite. Em fazendas cujo manejo não segue padrões sanitários recomendados, a prevalência da doença nas vacas leiteiras é alta. O controle da epidemia pode ser feito instituindo um protocolo diário na limpeza dos equipamentos e ambiente que os animais convivem. Esse tipo de protocolo foi aplicado numa fazenda com alta infestação ( 35 % ). Após 6 meses de instituído o protocolo, uma amostra de 500 vacas foi inspecionada. Destas, 355 se mostraram livres da mastite.
a) Esses resultados indicam que o protocolo contribui para diminuir a prevalência? Para sua resposta, teste as hipóteses: H0: p=0.35 vs HA: p<0.35, usando alpha=0.05.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a mastite em vacas leiteiras, uma doença que prejudica a produção de leite. Inicialmente, a prevalência da mastite era de 35% nas vacas de uma fazenda. Depois de implementar um protocolo diário de limpeza para controlar a doença, foi feita uma amostra de 500 vacas, das quais 355 estavam livres da mastite. Nosso objetivo aqui é descobrir se esse protocolo realmente ajudou a diminuir a prevalência da doença. Para isso, vamos usar um teste de hipóteses sobre proporções, que é uma ferramenta estatística para comparar uma proporção observada com uma proporção conhecida ou esperada.

Passo 2

Primeiro, precisamos definir as hipóteses que vamos testar. A hipótese nula, H0: p = 0.35 versus HA: p < 0.35 , é que a proporção de vacas com mastite permanece a mesma, ou seja, 35%. A hipótese alternativa, , é que a proporção diminuiu após o protocolo. Assim, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular a proporção observada na amostra. Foram inspecionadas 500 vacas e 355 estavam livres da mastite. Isso significa que 145 vacas tinham mastite.
p = 145500 = 0.29
Então, a proporção observada de vacas com mastite é de 29%.

Passo 4

Para testar nossas hipóteses, precisamos calcular o erro padrão da proporção. O erro padrão nos diz o quanto a proporção observada pode variar devido ao acaso. A fórmula do erro padrão para uma proporção é:
Erro padrão = raizp0 (1 - p0)n ã
Onde:
  • Erro padrão = raiz0.35 times 0.65500 approx raiz0.2275500 approx raiz0.000455 approx 0.02133 (proporção inicial)
  • (tamanho da amostra)
Vamos calcular:
ã

Passo 5

Com o erro padrão calculado, vamos determinar o estatístico de teste (z-score), que nos ajuda a ver quão longe nossa proporção observada está da proporção da hipótese nula. A fórmula é:
z = p - p0Erro padrão ã
Substituindo os valores:
z = 0.29 - 0.350.02133 approx -0.060.02133 approx -2.81

Passo 6

Agora, precisamos comparar nosso z-score com o valor crítico para um teste unilateral com nível de significância . Para um teste à esquerda, o valor crítico de z para é aproximadamente -1.645.
Como nosso z-score de -2.81 é menor que -1.645, significa que ele está na região crítica.

Passo 7

Como nosso z-score caiu na região crítica, rejeitamos a hipótese nula . Isso significa que há evidências estatísticas suficientes para concluir que o protocolo de limpeza reduziu a prevalência de mastite nas vacas leiteiras da fazenda.

Resposta

Sim, os resultados indicam que o protocolo contribuiu para diminuir a prevalência da mastite nas vacas leiteiras, rejeitando a hipótese nula com menor que -1.645 e significância de .

Exercícios relacionados