Valor da variável X Probabilidade
2 1 / 3
3 1 / 3
4 1 / 3
Baseado nesta distribuição populacional, calcule a média e a variância de barX, considerando amostras aleatórias de tamanho 2 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma distribuição de probabilidade para a variável X, com valores 2, 3 e 4, cada um com probabilidade 13. O objetivo é calcular a média e a variância de barX, que é a média de amostras aleatórias de tamanho 2. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de estatística como média populacional, variância populacional e como calcular a média e a variância de uma média amostral.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média populacional ( mu) da variável X. A média é basicamente o valor esperado, ou seja, uma média ponderada dos valores que X pode assumir, multiplicados pelas respectivas probabilidades.

Passo 3

A fórmula para a média populacional é:
mu = sum (X cdot P(X))
Onde X são os valores da variável e P(X) são as probabilidades correspondentes.

Passo 4

Aplicando os valores:
mu = 2 cdot 13 + 3 cdot 13 + 4 cdot 13
mu = 23 + 33 + 43 = 93 = 3
Então, a média populacional mu é 3.

Passo 5

Agora, vamos calcular a variância populacional ( sigma^2). A variância mede o quanto os valores de X estão dispersos em relação à média.
A fórmula para a variância populacional é:
sigma^2 = sum ( (X - mu)^2 cdot P(X) )

Passo 6

Calculando cada termo:
Para X=2:
(2 - 3)^2 cdot 13 = 1 cdot 13 = 13
Para X=3:
(3 - 3)^2 cdot 13 = 0 cdot 13 = 0
Para X=4:
(4 - 3)^2 cdot 13 = 1 cdot 13 = 13

Passo 7

Somando tudo:
sigma^2 = 13 + 0 + 13 = 23
Então, a variância populacional sigma^2 é 23.

Passo 8

Agora, queremos calcular a média e a variância da média amostral barX, considerando amostras de tamanho n=2.
A média da média amostral ( E(barX)) é igual à média populacional:
E(barX) = mu = 3

Passo 9

A variância da média amostral ( Var(barX)) é dada por:
Var(barX) = sigma^2n
Onde sigma^2 é a variância populacional e n é o tamanho da amostra.

Passo 10

Substituindo os valores:
Var(barX) = 232 = 23 cdot 12 = 13

Resposta

A média de barX é 3 e a variância de barX é 13.

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