Nos problemas de 7 a 12 utilize o método de Frobenius para determinar duas soluções em série centrada em x0 = 0.
9 x^2 y'' + 9 x^2 y' + 2 y = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o Método de Frobenius. Esse método é útil para encontrar soluções em série quando a equação tem um ponto singular, como no nosso caso, que é . Precisamos transformar a equação para o formato padrão e encontrar os coeficientes da série que satisfazem a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão dividindo todos os termos por :
Aqui, é a segunda derivada de em relação a , é a primeira derivada, e é a função que multiplica .

Passo 3

Agora, assumimos uma solução em série da forma:
Onde é o expoente inicial e são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de :

Passo 5

Substituímos , e na equação padrão:

Passo 6

Para simplificar, alinhamos os expoentes:
Geramos o indicial substituindo e igualando os coeficientes de menor potência de a zero:

Passo 7

Resolvemos a equação indicial:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então,

Passo 8

Com os valores de encontrados, construímos as soluções em série para cada . Vamos considerar e .

Passo 9

Finalmente, escrevemos as duas soluções em série centradas em :

Resposta

As duas soluções em série centradas em são:

Exercícios relacionados