Nos problemas de 7 a 12 utilize o método de Frobenius para determinar duas soluções em série centrada em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o Método de Frobenius. Esse método é útil para encontrar soluções em série quando a equação tem um ponto singular, como no nosso caso, que é
. Precisamos transformar a equação para o formato padrão e encontrar os coeficientes da série que satisfazem a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão dividindo todos os termos por
:
Aqui,
é a segunda derivada de
em relação a
,
é a primeira derivada, e
é a função que multiplica
.
Passo 3
Agora, assumimos uma solução em série da forma:
Onde
é o expoente inicial e
são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Passo 5
Substituímos
,
e
na equação padrão:
Passo 6
Para simplificar, alinhamos os expoentes:
Geramos o indicial substituindo
e igualando os coeficientes de menor potência de
a zero:
Passo 7
Resolvemos a equação indicial:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então,
Passo 8
Com os valores de
encontrados, construímos as soluções em série para cada
. Vamos considerar
e
.
Passo 9
Finalmente, escrevemos as duas soluções em série centradas em
:
Resposta
As duas soluções em série centradas em
são: