Para os problemas (a)-(e), usando apenas as Propriedades de Limite, as propriedades de limite unilateral (se necessário) e a definição de continuidade determine se a função fornecida é contínua ou descontínua nos pontos indicados.
(a) f(x) = (4x + 5) / (9 - 3x)
(i) x = -1
(ii) x = 0
(iii) x = 3
(b) f(x) = 6/(x^2 - 3x - 10)
(i) x = -2
(ii) x = 0
(iii) x = 5
© f(x) = { 2x se x < 6, x - 1 se x ≥ 6 }
(i) x = 4
(ii) x = 6
(d) f(x) = { 1 - 3x, x < -6; 7, x = -6; x^3, -6 < x < 1; 1, x = 1; 2 - x, x > 1 }
(i) x = -0
(ii) x = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte (a) do exercício. A questão pede para determinar se a função é contínua ou descontínua nos pontos , e . Vamos usar as propriedades de limites e a definição de continuidade para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite quando se aproxima de for igual ao valor da função em . Ou seja:
Se isso for verdadeiro, a função é contínua em . Caso contrário, é descontínua.

Passo 3

Vamos analisar a função . Essa é uma função racional, ou seja, um quociente de dois polinômios. Uma função racional é contínua em todos os pontos onde o denominador não é zero.

Passo 4

Primeiro, vamos identificar onde o denominador é igual a zero, pois nesses pontos a função não está definida e, portanto, não pode ser contínua.
Então, é um ponto onde a função não está definida.

Passo 5

Agora, vamos verificar cada um dos pontos indicados:

(i)

  • Verificar se está no domínio da função.
  • Calcular e comparar com .
Como a função está definida em e não há indeterminação, ela é contínua nesse ponto.

(ii)

  • Verificar se está no domínio da função.
  • Calcular e comparar com .
Novamente, a função está definida em e não há indeterminação, então é contínua nesse ponto.

(iii)

  • Verificar se está no domínio da função.
Aqui, o denominador é zero, então a função não está definida em . Portanto, a função é descontínua nesse ponto.

Resposta

A função é contínua nos pontos e , e descontínua no ponto .

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