Para os problemas (a)-(e), usando apenas as Propriedades de Limite, as propriedades de limite unilateral (se necessário) e a definição de continuidade determine se a função fornecida é contínua ou descontínua nos pontos indicados.
(a)
(i)
(ii)
(iii)
(b)
(i)
(ii)
(iii)
©
(i)
(ii)
(d)
(i)
(ii)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte (a) do exercício. A questão pede para determinar se a função é contínua ou descontínua nos pontos , e . Vamos usar as propriedades de limites e a definição de continuidade para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite quando se aproxima de for igual ao valor da função em . Ou seja:
Se isso for verdadeiro, a função é contínua em . Caso contrário, é descontínua.

Passo 3

Vamos analisar a função . Essa é uma função racional, ou seja, um quociente de dois polinômios. Uma função racional é contínua em todos os pontos onde o denominador não é zero.

Passo 4

Primeiro, vamos identificar onde o denominador é igual a zero, pois nesses pontos a função não está definida e, portanto, não pode ser contínua.
Então, é um ponto onde a função não está definida.

Passo 5

Agora, vamos verificar cada um dos pontos indicados:

(i)

  • Verificar se está no domínio da função.
  • Calcular e comparar com .
Como a função está definida em e não há indeterminação, ela é contínua nesse ponto.

(ii)

  • Verificar se está no domínio da função.
  • Calcular e comparar com .
Novamente, a função está definida em e não há indeterminação, então é contínua nesse ponto.

(iii)

  • Verificar se está no domínio da função.
Aqui, o denominador é zero, então a função não está definida em . Portanto, a função é descontínua nesse ponto.

Resposta

A função é contínua nos pontos e , e descontínua no ponto .

Exercícios relacionados

Calcule os seguintes limites.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m) .
Calcule os seguintes limites infinitos.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)
§
(q)
® .
Abaixo está o gráfico de . Para cada um dos pontos dados determine o valor de e . Se alguma das quantidades não existir, explique claramente o porquê.
(a)
(b)
©
(d)
Dado que e , use as propriedades de limite para calcular cada um dos seguintes limites. Se não for possível calcular qualquer um dos limites explique claramente por que não.
(a)
(b)
©
(d)