Beleza, vamos resolver a parte (a) do exercício. A questão pede para determinar se a função é contínua ou descontínua nos pontos , e . Vamos usar as propriedades de limites e a definição de continuidade para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite quando se aproxima de for igual ao valor da função em . Ou seja:
Se isso for verdadeiro, a função é contínua em . Caso contrário, é descontínua.
Passo 3
Vamos analisar a função . Essa é uma função racional, ou seja, um quociente de dois polinômios. Uma função racional é contínua em todos os pontos onde o denominador não é zero.
Passo 4
Primeiro, vamos identificar onde o denominador é igual a zero, pois nesses pontos a função não está definida e, portanto, não pode ser contínua.
Então, é um ponto onde a função não está definida.
Passo 5
Agora, vamos verificar cada um dos pontos indicados:
(i)
Verificar se está no domínio da função.
Calcular e comparar com .
Como a função está definida em e não há indeterminação, ela é contínua nesse ponto.
(ii)
Verificar se está no domínio da função.
Calcular e comparar com .
Novamente, a função está definida em e não há indeterminação, então é contínua nesse ponto.
(iii)
Verificar se está no domínio da função.
Aqui, o denominador é zero, então a função não está definida em . Portanto, a função é descontínua nesse ponto.
Resposta
A função é contínua nos pontos e , e descontínua no ponto .