O processo pelo qual determinamos limites de funções racionais se aplica igualmente bem a razões contendo potências de x não inteiras ou negativas: dividir o numerador e o denominador pela potência mais alta de x no denominador e continuar a partir dali. Determine os limites nos Exercícios 23-36.
lim x -infty raiz[3]x-5 x+32 x+x^2 / 3-4

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite:
lim x -infty raiz[3]x - 5x + 32x + x^2/3 - 4
Aqui a gente vai utilizar o conteúdo de limites de funções racionais. A ideia é dividir o numerador e o denominador pela potência mais alta de que aparece no denominador para facilitar a análise.

Passo 2

Primeiro, identificamos qual é a potência mais alta de no denominador. Observando , vemos que a maior potência é (ou simplesmente ). Então, vamos dividir cada termo do numerador e do denominador por .

Passo 3

Dividindo o numerador por raiz[3]xx - 5xx + 3x = x^-2/3 - 5 + 3x^-1:
2xx + x^2/3x - 4x = 2 + x^-1/3 - 4x^-1
Dividindo o denominador por :

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento de cada termo quando tende a :
  • Termos com potências negativas de : Quando vai para , , e tendem a 0.
Portanto, simplificando:
  • Numerador:
  • Denominador:

Resposta

O limite é .

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