Mostre que a função w=tg(2 x-2 c t) é uma solução da equação de onda unidimensional partial^2 wpartial t^2=c^2 partial^2 wpartial x^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a função é uma solução da equação de onda unidimensional . Isso envolve conceitos de cálculo como derivadas parciais e trigonometria. Vamos precisar calcular as derivadas de segunda ordem de em relação a e e verificar se a igualdade da equação de onda se mantém.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de w = tg(2x - 2ct) em relação a partial wpartial t = sec^2(2x - 2ct) times partialpartial t(2x - 2ct) = sec^2(2x - 2ct) times (-2c) = -2c sec^2(2x - 2ct) . A função é uma função composta, então usaremos a regra da cadeia. Sabemos que:
A derivada da tangente é , então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de partial^2 wpartial t^2 = partialpartial t(-2c sec^2(2x - 2ct)) = -2c times 2 sec^2(2x - 2ct) tan(2x - 2ct) times (-2c) em relação a partial^2 wpartial t^2 = 8c^2 sec^2(2x - 2ct) tan(2x - 2ct) . Continuando com a regra da cadeia:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular a primeira derivada de partial wpartial x = sec^2(2x - 2ct) times partialpartial x(2x - 2ct) = sec^2(2x - 2ct) times 2 = 2 sec^2(2x - 2ct) em relação a :

Passo 5

Em seguida, calculamos a segunda derivada de partial^2 wpartial x^2 = partialpartial x(2 sec^2(2x - 2ct)) = 2 times 2 sec^2(2x - 2ct) tan(2x - 2ct) = 4 sec^2(2x - 2ct) tan(2x - 2ct) em relação a :

Passo 6

Agora, vamos substituir as derivadas na equação de onda para verificar se ela é satisfeita:
partial^2 wpartial t^2 = 8c^2 sec^2(2x - 2ct) tan(2x - 2ct)
E do lado direito:
c^2 partial^2 wpartial x^2 = c^2 times 4 sec^2(2x - 2ct) tan(2x - 2ct) = 4c^2 sec^2(2x - 2ct) tan(2x - 2ct)

Passo 7

Comparando os dois lados:
8c^2 sec^2(2x - 2ct) tan(2x - 2ct) neq 4c^2 sec^2(2x - 2ct) tan(2x - 2ct)
Parece que há uma inconsistência aqui. Vamos verificar os cálculos novamente.

Passo 8

Revisando as derivadas, percebemos que na segunda derivada em relação a partial^2 wpartial t^2 = -2c times 2 sec^2(2x - 2ct) tan(2x - 2ct) times (-2c) = 8c^2 sec^2(2x - 2ct) tan(2x - 2ct) , o sinal foi perdido:
A correta derivada de partial^2 wpartial x^2 = 4 sec^2(2x - 2ct) tan(2x - 2ct) é c^2 partial^2 wpartial x^2 = 4c^2 sec^2(2x - 2ct) tan(2x - 2ct) , então:
E para a segunda derivada em :
Portanto:
Notamos que , o que não satisfaz a equação de onda original.

Resposta

A função não satisfaz a equação de onda unidimensional .

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