Mostre que a função
é uma solução da equação de onda unidimensional
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a função
é uma solução da equação de onda unidimensional
. Isso envolve conceitos de cálculo como derivadas parciais e trigonometria. Vamos precisar calcular as derivadas de segunda ordem de
em relação a
e
e verificar se a igualdade da equação de onda se mantém.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de
em relação a
. A função
é uma função composta, então usaremos a regra da cadeia. Sabemos que:
A derivada da tangente é
, então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
. Continuando com a regra da cadeia:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular a primeira derivada de
em relação a
:
Passo 5
Em seguida, calculamos a segunda derivada de
em relação a
:
Passo 6
Agora, vamos substituir as derivadas na equação de onda para verificar se ela é satisfeita:
E do lado direito:
Passo 7
Comparando os dois lados:
Parece que há uma inconsistência aqui. Vamos verificar os cálculos novamente.
Passo 8
Revisando as derivadas, percebemos que na segunda derivada em relação a
, o sinal foi perdido:
A correta derivada de
é
, então:
E para a segunda derivada em
:
Portanto:
Notamos que
, o que não satisfaz a equação de onda original.
Resposta
A função
não satisfaz a equação de onda unidimensional
.