Mostre que
satisfaz uma equação de Laplace.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que a função
satisfaz a Equação de Laplace. Isso faz parte do cálculo diferencial, especificamente envolvendo derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas segundas de
em relação a
,
e
e somar elas.
Passo 2
Primeiro, bora relembrar o que é a Equação de Laplace. Ela é escrita como
, onde
é o Laplaciano. No caso de funções de três variáveis, o Laplaciano é:
Então, nosso objetivo é calcular essas três derivadas parciais segundas e ver se a soma delas dá zero.
Passo 3
Vamos começar calculando a primeira derivada de
em relação a
. A função é simétrica em
,
e
, então as derivadas em relação a
e
vão seguir o mesmo padrão depois.
A função
pode ser escrita como
, onde
. Usaremos a regra da cadeia para derivar.
Passo 4
Calculando a primeira derivada em relação a
:
Aqui, usamos a regra da cadeia: derivada de
é
vezes a derivada de
, que no caso é
.
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda derivada em relação a
. Precisamos derivar
novamente:
Aplicamos a regra do produto aqui:
Simplificando:
Passo 6
Como a função é simétrica, as derivadas segundas em relação a
e
serão iguais às de
. Então:
Passo 7
Agora, vamos somar as três derivadas parciais segundas para calcular o Laplaciano:
Somando os termos semelhantes:
Como
, podemos substituir:
Resposta
A função
satisfaz a Equação de Laplace, pois
.