Mostre que f(x, y, z) = (x^2 + y^2 + z^2)^-12 satisfaz uma equação de Laplace.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que a função satisfaz a Equação de Laplace. Isso faz parte do cálculo diferencial, especificamente envolvendo derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas segundas de em relação a , e e somar elas.

Passo 2

Primeiro, bora relembrar o que é a Equação de Laplace. Ela é escrita como , onde é o Laplaciano. No caso de funções de três variáveis, o Laplaciano é:
Então, nosso objetivo é calcular essas três derivadas parciais segundas e ver se a soma delas dá zero.

Passo 3

Vamos começar calculando a primeira derivada de em relação a . A função é simétrica em , e , então as derivadas em relação a e vão seguir o mesmo padrão depois.
A função pode ser escrita como , onde . Usaremos a regra da cadeia para derivar.

Passo 4

Calculando a primeira derivada em relação a :
Aqui, usamos a regra da cadeia: derivada de é vezes a derivada de , que no caso é .

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada em relação a . Precisamos derivar novamente:
Aplicamos a regra do produto aqui:
Simplificando:

Passo 6

Como a função é simétrica, as derivadas segundas em relação a e serão iguais às de . Então:

Passo 7

Agora, vamos somar as três derivadas parciais segundas para calcular o Laplaciano:
Somando os termos semelhantes:
Como , podemos substituir:

Resposta

A função satisfaz a Equação de Laplace, pois .

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