Retirada uma amostra aleatória de 1000 peças da produção de uma máquina, verificou-se que 35 eram defeituosas.
a) Construir um intervalo de confiança, ao nível de 95 %, para a proporção real de peças defeituosas fornecidas por essa máquina.
b) Que tamanho deveria ter a amostra para que o erro obtido na estimativa acima seja reduzido em 50 % ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre estatística, especificamente sobre proporções e intervalos de confiança. O problema é que numa amostra de 1000 peças, 35 deram defeito. A gente precisa construir um intervalo de confiança de 95% para a proporção real de peças defeituosas e depois descobrir qual o tamanho da amostra necessário para reduzir o erro pela metade. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular intervalos de confiança para proporções e como relacionar o tamanho da amostra com o erro na estimativa.

Passo 2

Primeiro, vamos para a parte a) onde precisamos construir o intervalo de confiança de 95% para a proporção de peças defeituosas. A gente começa calculando a proporção observada na amostra.
A proporção p = número de defeituosastamanho da amostra = 351000 = 0,035 é:
ú

Passo 3

Agora, para construir o intervalo de confiança, usamos a fórmula:
p pm Z times raizp(1 - p)n
Aqui, é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança de 95%. Olhando numa tabela de valores Z, sabemos que para 95% de confiança, é aproximadamente 1,96.

Passo 4

Vamos calcular o erro padrão:
raiz0,035 times (1 - 0,035)1000 = raiz0,035 times 0,9651000 = raiz0,0337751000 approx raiz0,000033775 approx 0,00581

Passo 5

Agora, multiplicamos o erro padrão pelo valor Z:
1,96 times 0,00581 approx 0,01139

Passo 6

Finalmente, construímos o intervalo de confiança:
0,035 pm 0,01139 Rightarrow (0,035 - 0,01139, 0,035 + 0,01139) Rightarrow (0,02361, 0,04639)

Passo 7

Agora, vamos para a parte b) onde a gente quer diminuir o erro pela metade. O erro atual é 0,01139, então queremos que o novo erro seja metade disso:
0,011392 = 0,005695

Passo 8

Sabemos que o erro (margem de erro) na fórmula do intervalo de confiança é:
Z times raizp(1 - p)n
Queremos que isso seja igual a 0,005695. Então, temos:
1,96 times raiz0,035 times 0,965n = 0,005695

Passo 9

Vamos resolver para raiz0,035 times 0,965n = 0,0056951,96 approx 0,002907 . Primeiro, isolamos a raiz quadrada:

Passo 10

Elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
0,035 times 0,965n = (0,002907)^2 approx 0,00000845

Passo 11

Agora, isolamos n = 0,035 times 0,9650,00000845 approx 0,0337750,00000845 approx 3997,04 :
n approx 3998
Como não podemos ter uma parte de uma amostra, arredondamos para cima:

Resposta

a) O intervalo de confiança de 95% para a proporção real de peças defeituosas é aproximadamente de 2,36% a 4,64%.
b) Para reduzir o erro pela metade, a amostra deveria ter cerca de 3 998 peças.

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