Retirada uma amostra aleatória de 1000 peças da produção de uma máquina, verificou-se que 35 eram defeituosas.
a) Construir um intervalo de confiança, ao nível de
, para a proporção real de peças defeituosas fornecidas por essa máquina.
b) Que tamanho deveria ter a amostra para que o erro obtido na estimativa acima seja reduzido em
?
a) Construir um intervalo de confiança, ao nível de
b) Que tamanho deveria ter a amostra para que o erro obtido na estimativa acima seja reduzido em
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre estatística, especificamente sobre proporções e intervalos de confiança. O problema é que numa amostra de 1000 peças, 35 deram defeito. A gente precisa construir um intervalo de confiança de 95% para a proporção real de peças defeituosas e depois descobrir qual o tamanho da amostra necessário para reduzir o erro pela metade. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular intervalos de confiança para proporções e como relacionar o tamanho da amostra com o erro na estimativa.
Passo 2
Primeiro, vamos para a parte a) onde precisamos construir o intervalo de confiança de 95% para a proporção de peças defeituosas. A gente começa calculando a proporção observada na amostra.
A proporção
é:
Passo 3
Agora, para construir o intervalo de confiança, usamos a fórmula:
Aqui,
é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança de 95%. Olhando numa tabela de valores Z, sabemos que para 95% de confiança,
é aproximadamente 1,96.
Passo 4
Vamos calcular o erro padrão:
Passo 5
Agora, multiplicamos o erro padrão pelo valor Z:
Passo 6
Finalmente, construímos o intervalo de confiança:
Passo 7
Agora, vamos para a parte b) onde a gente quer diminuir o erro pela metade. O erro atual é 0,01139, então queremos que o novo erro seja metade disso:
Passo 8
Sabemos que o erro (margem de erro) na fórmula do intervalo de confiança é:
Queremos que isso seja igual a 0,005695. Então, temos:
Passo 9
Vamos resolver para
. Primeiro, isolamos a raiz quadrada:
Passo 10
Elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 11
Agora, isolamos
:
Como não podemos ter uma parte de uma amostra, arredondamos para cima:
Resposta
a) O intervalo de confiança de 95% para a proporção real de peças defeituosas é aproximadamente de 2,36% a 4,64%.
b) Para reduzir o erro pela metade, a amostra deveria ter cerca de 3 998 peças.
b) Para reduzir o erro pela metade, a amostra deveria ter cerca de 3 998 peças.