Procurando planetas em torno de outras estrelas. Se um telescópio ótico focalizando a luz com comprimento de onda de 550 nm possui um espelho perfeitamente plano, qual deveria ser o diâmetro mínimo do espelho para que o telescópio pudesse descobrir um planeta do tamanho de Júpiter em torno da nossa estrela mais próxima, Alfa Centauro, que está a cerca de 4,3 anos-luz da Terra?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o diâmetro mínimo do espelho de um telescópio que está tentando descobrir um planeta do tamanho de Júpiter orbitando a estrela mais próxima, Alfa Centauro, que está a cerca de 4,3 anos-luz da Terra. Vamos usar conceitos de resolução angular e difração de luz para resolver isso. Precisaremos entender como a luz se comporta ao passar pelo telescópio e como isso afeta a capacidade de distinguir objetos pequenos como planetas ao redor de estrelas distantes.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o ângulo mínimo que o telescópio deve ser capaz de resolver para distinguir o planeta de Alfa Centauro. Esse ângulo depende da distância até a estrela e do tamanho do planeta.
A fórmula para o ângulo angular θ é:
theta = dD
onde:
  • $ d $ é o diâmetro do objeto que queremos resolver (neste caso, o diâmetro de Júpiter),
  • $ D $ é a distância até o objeto.
Primeiro, vamos converter a distância de anos-luz para metros para facilitar os cálculos.

Passo 3

Sabemos que:
  • 1 ano-luz ≈ $ 9,461 \times 10^{15} $ metros,
  • A distância até Alfa Centauro é 4,3 anos-luz.
Então,
9,461 times 10^15

Passo 4

Agora, precisamos do diâmetro de Júpiter. Sabendo que o diâmetro de Júpiter é aproximadamente 1,43 times 10^8 metros, podemos calcular o ângulo angular θ:
theta = 1,43 times 10^8 , m4,07 times 10^16 , m approx 3,51 times 10^-9 , radianos

Passo 5

Para converter radianos em segundos de arco (uma unidade mais comum para ângulos astronômicos), usamos:
1 , radian approx 206265 , segundos de arco
Então,
theta approx 3,51 times 10^-9 times 206265 approx 7,25 times 10^-4 , segundos de arco

Passo 6

Agora, usamos a fórmula de resolução angular do telescópio, que leva em conta a difração:
theta = 1,22 lambdaD
Onde:
  • $ \lambda $ é o comprimento de onda da luz (550 nm = $ 550 \times 10^{-9} $ m),
  • $ D $ é o diâmetro do espelho do telescópio que queremos encontrar.
Rearranjando para $ D $:
lambda

Passo 7

Substituindo os valores que temos:
D = 1,22 times 550 times 10^-9 , m7,25 times 10^-4 times pi180 times 3600 (convertendo segundos de arco para radianos)
Primeiro, convertendo $ \theta $ de segundos de arco para radianos:
theta
Então,
theta = 7,25 times 10^-4 times pi180 times 3600 approx 3,52 times 10^-8 , radianos

Resposta

O diâmetro mínimo do espelho do telescópio necessário para descobrir um planeta do tamanho de Júpiter em torno de Alfa Centauro é aproximadamente 1,9 centímetros.

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