Procurando planetas em torno de outras estrelas. Se um telescópio ótico focalizando a luz com comprimento de onda de 550 nm possui um espelho perfeitamente plano, qual deveria ser o diâmetro mínimo do espelho para que o telescópio pudesse descobrir um planeta do tamanho de Júpiter em torno da nossa estrela mais próxima, Alfa Centauro, que está a cerca de 4,3 anos-luz da Terra?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o diâmetro mínimo do espelho de um telescópio que está tentando descobrir um planeta do tamanho de Júpiter orbitando a estrela mais próxima, Alfa Centauro, que está a cerca de 4,3 anos-luz da Terra. Vamos usar conceitos de resolução angular e difração de luz para resolver isso. Precisaremos entender como a luz se comporta ao passar pelo telescópio e como isso afeta a capacidade de distinguir objetos pequenos como planetas ao redor de estrelas distantes.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular o ângulo mínimo que o telescópio deve ser capaz de resolver para distinguir o planeta de Alfa Centauro. Esse ângulo depende da distância até a estrela e do tamanho do planeta.
A fórmula para o ângulo angular θ é:
onde:
- $ d $ é o diâmetro do objeto que queremos resolver (neste caso, o diâmetro de Júpiter),
- $ D $ é a distância até o objeto.
Primeiro, vamos converter a distância de anos-luz para metros para facilitar os cálculos.
Passo 3
Sabemos que:
- 1 ano-luz ≈ $ 9,461 \times 10^{15} $ metros,
- A distância até Alfa Centauro é 4,3 anos-luz.
Então,
Passo 4
Agora, precisamos do diâmetro de Júpiter. Sabendo que o diâmetro de Júpiter é aproximadamente
metros, podemos calcular o ângulo angular θ:
Passo 5
Para converter radianos em segundos de arco (uma unidade mais comum para ângulos astronômicos), usamos:
Então,
Passo 6
Agora, usamos a fórmula de resolução angular do telescópio, que leva em conta a difração:
Onde:
- $ \lambda $ é o comprimento de onda da luz (550 nm = $ 550 \times 10^{-9} $ m),
- $ D $ é o diâmetro do espelho do telescópio que queremos encontrar.
Rearranjando para $ D $:
Passo 7
Substituindo os valores que temos:
Primeiro, convertendo $ \theta $ de segundos de arco para radianos:
Então,
Resposta
O diâmetro mínimo do espelho do telescópio necessário para descobrir um planeta do tamanho de Júpiter em torno de Alfa Centauro é aproximadamente 1,9 centímetros.