Um produtor pode fabricar fogões de cozinha ao custo de R$ 140 cada. Os números de venda indicam que, se os fogões forem vendidos a “x” reais cada, aproximadamente (850 – x) serão vendidos por mês. Qual a quantidade de fogões que deve ser vendida para que haja lucro? Para determinar o preço de venda e o lucro, deve-se determinar a função lucro. Escolha uma opção:
a. 100 a 150 fogões.
b. 0 a 850 fogões.
c. 100 a 800 fogões.
d. 0 a 150 fogões.
e. 140 a 850 fogões.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um produtor que fabrica fogões de cozinha a um custo de R$ 140 cada. A quantidade de fogões que ele consegue vender por mês depende do preço de venda “x”. Se ele vender cada fogão por “x” reais, aproximadamente (850 – x) fogões serão vendidos. Queremos descobrir quantos fogões ele precisa vender para obter lucro. Para isso, vamos determinar a função lucro.
Conteúdo da matéria: Função de lucro, análise de funções quadráticas.
O que vamos precisar: Entender como construir a função lucro a partir dos custos e receitas, e resolver a inequação para encontrar os valores que garantem lucro.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular a Receita e o Custo.
  • Custo total ©: É o custo de produzir os fogões multiplicado pela quantidade vendida.
    C = 140x
    Onde “x” é a quantidade de fogões vendidos.
  • Receita total ®: É o preço de venda de cada fogão multiplicado pela quantidade vendida.
    R = x times (850 - x)
    Aqui, 850 - x representa a quantidade de fogões que serão vendidos quando o preço é “x”.

Passo 3

Agora, vamos determinar a função lucro §, que é a diferença entre a Receita e o Custo.
P = R - C
Substituindo as expressões de Receita e Custo:
P = x(850 - x) - 140x
Vamos simplificar essa expressão:
P = 850x - x^2 - 140x
P = (850x - 140x) - x^2
P = 710x - x^2

Passo 4

Para que haja lucro, a função lucro deve ser maior que zero:
P > 0
Substituindo a expressão de P:
710x - x^2 > 0
Vamos reorganizar a inequação:
x(710 - x) > 0

Passo 5

Agora, vamos resolver a inequação x(710 - x) > 0.
  • Primeiro fator ( x > 0): A quantidade de fogões vendidos não pode ser negativa, então x > 0.
  • Segundo fator ( 710 - x > 0): Para que o produto seja positivo, ambos os fatores devem ser positivos:
    710 - x > 0 Rightarrow x < 710

Passo 6

Combinando as duas condições:
0 < x < 710
Isso significa que para que o produtor obtenha lucro, ele deve vender mais de 0 e menos de 710 fogões por mês.

Passo 7

Agora, vamos verificar qual das opções corresponde a esse intervalo.
  • Opção a. 100 a 150 fogões.
  • Opção b. 0 a 850 fogões.
  • Opção c. 100 a 800 fogões.
  • Opção d. 0 a 150 fogões.
  • Opção e. 140 a 850 fogões.
O intervalo calculado foi de 0 a 710 fogões. A opção que mais se aproxima desse intervalo é a Opção b: 0 a 850 fogões.

Resposta

A quantidade de fogões que deve ser vendida para que haja lucro está entre 0 a 850 fogões.

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