Um professor tem 8 livros distintos, sendo 4 de Geometria e 4 de Álgebra. Esses livros serão doados a 8 alunos, dos quais 3 disseram ter preferência pelos livros de Geometria, 2 pelos de Àlgebra e os demais não tem preferência. De quantos modos o professor poderá fazer a distribuição dos livros, respeitanto as preferências?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um professor com 8 livros diferentes: 4 de Geometria e 4 de Álgebra. Ele quer distribuir esses livros para 8 alunos. A parada é que:
- 3 alunos preferem livros de Geometria.
- 2 alunos preferem livros de Álgebra.
- Os outros 3 alunos não têm preferência.
Vamos precisar usar conceitos de combinações e permutações pra resolver isso. Basicamente, vamos calcular de quantas maneiras diferentes o professor pode distribuir os livros respeitando essas preferências.
Passo 2
Primeiro, vamos cuidar dos 3 alunos que preferem livros de Geometria. Como temos 4 livros de Geometria e 3 alunos querendo, precisamos escolher quais 3 livros serão dados a eles.
A gente vai usar a combinação, que é quando a ordem não importa. A fórmula é:
Aqui,
(livros de Geometria) e
(alunos que querem). Então:
Tem 4 maneiras de escolher os livros de Geometria para esses 3 alunos.
Passo 3
Depois de escolher os livros, precisamos distribuir esses 3 livros para os 3 alunos. Como os livros são distintos e a ordem importa (quem recebe qual livro é importante), usamos a permutação.
A fórmula é:
Aqui,
. Então:
Então, para cada escolha de livros, há 6 maneiras de distribuir para os alunos.
Passo 4
Agora, vamos para os 2 alunos que preferem livros de Álgebra. Temos 4 livros de Álgebra e 2 alunos. Primeiro, escolhemos quais 2 livros serão dados a eles.
Usando a combinação novamente:
Tem 6 maneiras de escolher os livros de Álgebra.
Passo 5
Depois de escolher, distribuímos esses 2 livros para os 2 alunos. Como antes, usamos a permutação:
Então, para cada escolha de livros de Álgebra, há 2 maneiras de distribuir.
Passo 6
Agora, sobraram 3 livros: 1 de Geometria e 2 de Álgebra. E temos 3 alunos que não têm preferência. Precisamos distribuir esses 3 livros para eles.
Como os livros são distintos e os alunos também, usamos a permutação para distribuir:
Então, há 6 maneiras de distribuir esses 3 livros para os 3 alunos.
Passo 7
Agora, vamos juntar tudo. A gente multiplica as possibilidades de cada etapa:
- Escolher e distribuir os livros de Geometria:
- Escolher e distribuir os livros de Álgebra:
- Distribuir os livros restantes:
Então, o total de maneiras é:
Resposta
O professor pode distribuir os livros de 1.728 modos diferentes, respeitando as preferências dos alunos.