Um professor tem 8 livros distintos, sendo 4 de Geometria e 4 de Álgebra. Esses livros serão doados a 8 alunos, dos quais 3 disseram ter preferência pelos livros de Geometria, 2 pelos de Àlgebra e os demais não tem preferência. De quantos modos o professor poderá fazer a distribuição dos livros, respeitanto as preferências?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um professor com 8 livros diferentes: 4 de Geometria e 4 de Álgebra. Ele quer distribuir esses livros para 8 alunos. A parada é que:
  • 3 alunos preferem livros de Geometria.
  • 2 alunos preferem livros de Álgebra.
  • Os outros 3 alunos não têm preferência.
Vamos precisar usar conceitos de combinações e permutações pra resolver isso. Basicamente, vamos calcular de quantas maneiras diferentes o professor pode distribuir os livros respeitando essas preferências.

Passo 2

Primeiro, vamos cuidar dos 3 alunos que preferem livros de Geometria. Como temos 4 livros de Geometria e 3 alunos querendo, precisamos escolher quais 3 livros serão dados a eles.
A gente vai usar a combinação, que é quando a ordem não importa. A fórmula é:
binomnk = n!k!(n-k)!
Aqui, binom43 = 4!3!1! = 4 (livros de Geometria) e (alunos que querem). Então:
Tem 4 maneiras de escolher os livros de Geometria para esses 3 alunos.

Passo 3

Depois de escolher os livros, precisamos distribuir esses 3 livros para os 3 alunos. Como os livros são distintos e a ordem importa (quem recebe qual livro é importante), usamos a permutação.
A fórmula é:
P(k) = k!
Aqui, P(3) = 3! = 6 . Então:
Então, para cada escolha de livros, há 6 maneiras de distribuir para os alunos.

Passo 4

Agora, vamos para os 2 alunos que preferem livros de Álgebra. Temos 4 livros de Álgebra e 2 alunos. Primeiro, escolhemos quais 2 livros serão dados a eles.
Usando a combinação novamente:
binom42 = 4!2!2! = 6
Tem 6 maneiras de escolher os livros de Álgebra.

Passo 5

Depois de escolher, distribuímos esses 2 livros para os 2 alunos. Como antes, usamos a permutação:
P(2) = 2! = 2
Então, para cada escolha de livros de Álgebra, há 2 maneiras de distribuir.

Passo 6

Agora, sobraram 3 livros: 1 de Geometria e 2 de Álgebra. E temos 3 alunos que não têm preferência. Precisamos distribuir esses 3 livros para eles.
Como os livros são distintos e os alunos também, usamos a permutação para distribuir:
P(3) = 3! = 6
Então, há 6 maneiras de distribuir esses 3 livros para os 3 alunos.

Passo 7

Agora, vamos juntar tudo. A gente multiplica as possibilidades de cada etapa:
  • Escolher e distribuir os livros de Geometria: 24 times 12 times 6 = 1728
  • Escolher e distribuir os livros de Álgebra:
  • Distribuir os livros restantes:
Então, o total de maneiras é:

Resposta

O professor pode distribuir os livros de 1.728 modos diferentes, respeitando as preferências dos alunos.

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