A profundidade que um submarino pode atingir é descrita pela função dada por h(t) = t² - 120t + 2000, na qual h representa a profundidade em metros e t é o tempo em minutos. Sabendo disso, assinale a alternativa que contém a afirmação correta:
a) em 50 minutos, o submarino atinge a profundidade máxima
b) a profundidade máxima atingida pelo submarino é de -1600 metros.
c) em 60 minutos, o submarino atinge a profundidade de -2000 metros.
d) a profundidade máxima atingida pelo submarino é de -2000 metros.
e) o submarino atinge a profundidade máxima após 30 minutos.
a) em 50 minutos, o submarino atinge a profundidade máxima
b) a profundidade máxima atingida pelo submarino é de -1600 metros.
c) em 60 minutos, o submarino atinge a profundidade de -2000 metros.
d) a profundidade máxima atingida pelo submarino é de -2000 metros.
e) o submarino atinge a profundidade máxima após 30 minutos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre a profundidade que um submarino pode atingir, descrita pela função $ h(t) = t^2 - 120t + 2000 $, onde $ h $ é a profundidade em metros e $ t $ é o tempo em minutos. Nosso objetivo é identificar qual das alternativas está correta com base nessa função. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre funções quadráticas e como encontrar o ponto máximo ou mínimo delas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função $ h(t) = t^2 - 120t + 2000 $. Essa é uma função do segundo grau, ou seja, uma parábola. O formato geral de uma parábola é $ h(t) = at^2 + bt + c $, onde:
- $ a $ determina a abertura da parábola (para cima se $ a > 0 $ e para baixo se $ a < 0 $),
- $ b $ e $ c $ influenciam a posição da parábola.
No nosso caso, $ a = 1 $, $ b = -120 $ e $ c = 2000 $. Como $ a > 0 $, a parábola abre para cima, o que significa que ela terá um ponto mínimo, não máximo. Isso já nos dá uma pista de que algumas alternativas que falam em profundidade máxima podem estar erradas.
Passo 3
Para encontrar o ponto mínimo da função, usamos a fórmula para a coordenada $ t $ do vértice da parábola:
Substituindo os valores:
Então, o ponto mínimo ocorre aos 60 minutos.
Passo 4
Agora, vamos encontrar o valor de $ h(t) $ nesse ponto:
Isso significa que a profundidade mínima atingida pelo submarino é de -1600 metros aos 60 minutos.
Passo 5
Vamos comparar com as alternativas:
a) Em 50 minutos, o submarino atinge a profundidade máxima — Errado, atinge aos 60 minutos.
b) A profundidade máxima atingida pelo submarino é de -1600 metros — Correto, como calculamos.
c) Em 60 minutos, o submarino atinge a profundidade de -2000 metros — Errado, é -1600 metros.
d) A profundidade máxima atingida pelo submarino é de -2000 metros — Errado, é -1600 metros.
e) O submarino atinge a profundidade máxima após 30 minutos — Errado, é aos 60 minutos.
Resposta
A alternativa correta é a letra b): a profundidade máxima atingida pelo submarino é de -1600 metros.