Tres números positivos, cuja soma é 30, estão em progressão aritmética. Somando-se, espectivamente, 4, −4 e −9 aos primeiro, segundo e terceiro termos dessa progressão aritmética, obtemos três números em progressão geométrica. Então, um dos termos da progressão aritmética é:
a) 9
b) 11
c) 12
d) 13
e) 15
a) 9
b) 11
c) 12
d) 13
e) 15
Passo 1
Vamos entender o problema. Temos três números positivos que somam 30 e estão em progressão aritmética (PA). Precisamos descobrir um desses números. Além disso, ao somar 4, -4 e -9 aos primeiro, segundo e terceiro termos dessa PA, respectivamente, obtemos três números que formam uma progressão geométrica (PG). Para resolver isso, vamos usar conceitos de PA e PG.
Passo 2
Primeiro, vamos representar os três números em PA. Em uma PA, os termos são igualmente espaçados. Podemos chamar o termo do meio de “a” e a diferença comum de “d”. Assim, os três termos ficam:
- Primeiro termo: $ a - d $
- Segundo termo: $ a $
- Terceiro termo: $ a + d $
Passo 3
Sabemos que a soma dos três termos é 30:
Simplificando:
Então, os termos são:
- Primeiro termo: $ 10 - d $
- Segundo termo: $ 10 $
- Terceiro termo: $ 10 + d $
Passo 4
Agora, vamos aplicar as somas indicadas no enunciado:
- Somando 4 ao primeiro termo: $ (10 - d) + 4 = 14 - d $
- Somando -4 ao segundo termo: $ 10 - 4 = 6 $
- Somando -9 ao terceiro termo: $ (10 + d) - 9 = d + 1 $
Esses novos termos devem formar uma PG.
Passo 5
Em uma PG, a razão entre termos consecutivos é constante. Assim, temos:
Vamos resolver essa equação:
Multiplicando cruzado:
Reorganizando os termos:
Multiplicando todos os termos por -1 para simplificar:
Passo 6
Agora, resolvemos a equação quadrática:
Portanto, temos duas soluções:
Passo 7
Vamos verificar qual valor de “d” mantém os termos positivos:
-
Se $ d = 11 $:
- Primeiro termo: $ 10 - 11 = -1 $ (negativo, não válido)
-
Se $ d = 2 $:
- Primeiro termo: $ 10 - 2 = 8 $
- Segundo termo: $ 10 $
- Terceiro termo: $ 10 + 2 = 12 $
Como todos os termos são positivos, $ d = 2 $ é a solução válida.
Resposta
c) 12