Tres números positivos, cuja soma é 30, estão em progressão aritmética. Somando-se, espectivamente, 4, −4 e −9 aos primeiro, segundo e terceiro termos dessa progressão aritmética, obtemos três números em progressão geométrica. Então, um dos termos da progressão aritmética é:
a) 9
b) 11
c) 12
d) 13
e) 15

Passo 1

Vamos entender o problema. Temos três números positivos que somam 30 e estão em progressão aritmética (PA). Precisamos descobrir um desses números. Além disso, ao somar 4, -4 e -9 aos primeiro, segundo e terceiro termos dessa PA, respectivamente, obtemos três números que formam uma progressão geométrica (PG). Para resolver isso, vamos usar conceitos de PA e PG.

Passo 2

Primeiro, vamos representar os três números em PA. Em uma PA, os termos são igualmente espaçados. Podemos chamar o termo do meio de “a” e a diferença comum de “d”. Assim, os três termos ficam:
  • Primeiro termo: $ a - d $
  • Segundo termo: $ a $
  • Terceiro termo: $ a + d $

Passo 3

Sabemos que a soma dos três termos é 30:
(a - d) + a + (a + d) = 30
Simplificando:
3a = 30 implies a = 10
Então, os termos são:
  • Primeiro termo: $ 10 - d $
  • Segundo termo: $ 10 $
  • Terceiro termo: $ 10 + d $

Passo 4

Agora, vamos aplicar as somas indicadas no enunciado:
  • Somando 4 ao primeiro termo: $ (10 - d) + 4 = 14 - d $
  • Somando -4 ao segundo termo: $ 10 - 4 = 6 $
  • Somando -9 ao terceiro termo: $ (10 + d) - 9 = d + 1 $
Esses novos termos devem formar uma PG.

Passo 5

Em uma PG, a razão entre termos consecutivos é constante. Assim, temos:
614 - d = d + 16
Vamos resolver essa equação:
Multiplicando cruzado:
6 times 6 = (14 - d)(d + 1)
36 = 14d + 14 - d^2 - d
Reorganizando os termos:
-d^2 + 13d + 14 - 36 = 0
-d^2 + 13d - 22 = 0
Multiplicando todos os termos por -1 para simplificar:
d^2 - 13d + 22 = 0

Passo 6

Agora, resolvemos a equação quadrática:
d = 13 pm raiz(-13)^2 - 4 times 1 times 222 times 1 = 13 pm raiz169 - 882 = 13 pm raiz812
d = 13 pm 92
Portanto, temos duas soluções:
d = 222 = 11 ou d = 42 = 2

Passo 7

Vamos verificar qual valor de “d” mantém os termos positivos:
  • Se $ d = 11 $:
    • Primeiro termo: $ 10 - 11 = -1 $ (negativo, não válido)
  • Se $ d = 2 $:
    • Primeiro termo: $ 10 - 2 = 8 $
    • Segundo termo: $ 10 $
    • Terceiro termo: $ 10 + 2 = 12 $
Como todos os termos são positivos, $ d = 2 $ é a solução válida.

Resposta

c) 12

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