Em uma progressão aritmética, o oitavo termo é igual a 16 e o décimo termo é igual a 20. Assinale abaixo o item que apresenta o primeiro termo e a razão dessa progressão. a1=3 e r=2a1=2 e r=1a1=3 e r=3a1=2 e r=2a1=1 e r=3
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma progressão aritmética (PA), que é uma sequência de números onde cada termo depois do primeiro é obtido somando-se um número fixo, chamado de razão ®, ao termo anterior. Aqui, nos dizem que o oitavo termo da PA é 16 e o décimo termo é 20. Nosso objetivo é encontrar qual é o primeiro termo (a₁) e a razão ® dessa progressão para saber qual das alternativas está correta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula geral de um termo qualquer de uma PA:
Onde:
- $ a_n $ é o enésimo termo,
- $ a_1 $ é o primeiro termo,
- $ r $ é a razão,
- $ n $ é a posição do termo na sequência.
Passo 3
Vamos usar essa fórmula para os termos que temos:
Para o oitavo termo (a₈ = 16):
(Equação 1)
Para o décimo termo (a₁₀ = 20):
(Equação 2)
Passo 4
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
- $ 16 = a_1 + 7r $
- $ 20 = a_1 + 9r $
Vamos resolver esse sistema para encontrar $ a_1 $ e $ r $.
Passo 5
Primeiro, vamos subtrair a Equação 1 da Equação 2 para eliminar $ a_1 $:
Agora, resolvendo para $ r $:
Passo 6
Com o valor de $ r $ encontrado, vamos substituir na Equação 1 para encontrar $ a_1 $:
Agora, isolando $ a_1 $:
Resposta
O primeiro termo da progressão é a₁ = 2 e a razão é r = 2. A alternativa correta é:
a) a₁ = 3 e r = 2
(Na verdade, houve um erro na correspondência das alternativas. Com a resolução, o correto seria a opção que mostra a₁ = 2 e r = 2, ou seja, a alternativa d). Verifique as opções novamente.)