Em uma progressão aritmética, o oitavo termo é igual a 16 e o décimo termo é igual a 20. Assinale abaixo o item que apresenta o primeiro termo e a razão dessa progressão. a1=3 e r=2a1=2 e r=1a1=3 e r=3a1=2 e r=2a1=1 e r=3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma progressão aritmética (PA), que é uma sequência de números onde cada termo depois do primeiro é obtido somando-se um número fixo, chamado de razão ®, ao termo anterior. Aqui, nos dizem que o oitavo termo da PA é 16 e o décimo termo é 20. Nosso objetivo é encontrar qual é o primeiro termo (a₁) e a razão ® dessa progressão para saber qual das alternativas está correta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula geral de um termo qualquer de uma PA:
an = a1 + (n - 1) times r
Onde:
  • $ a_n $ é o enésimo termo,
  • $ a_1 $ é o primeiro termo,
  • $ r $ é a razão,
  • $ n $ é a posição do termo na sequência.

Passo 3

Vamos usar essa fórmula para os termos que temos:
Para o oitavo termo (a₈ = 16):
a8 = a1 + (8 - 1) times r
16 = a1 + 7r
(Equação 1)
Para o décimo termo (a₁₀ = 20):
a10 = a1 + (10 - 1) times r
20 = a1 + 9r
(Equação 2)

Passo 4

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
  1. $ 16 = a_1 + 7r $
  2. $ 20 = a_1 + 9r $
Vamos resolver esse sistema para encontrar $ a_1 $ e $ r $.

Passo 5

Primeiro, vamos subtrair a Equação 1 da Equação 2 para eliminar $ a_1 $:
a1
(20) - (16) = (a1 + 9r) - (a1 + 7r)
Agora, resolvendo para $ r $:
4 = 2r
r

Passo 6

Com o valor de $ r $ encontrado, vamos substituir na Equação 1 para encontrar $ a_1 $:
r
a1
Agora, isolando $ a_1 $:
16 = a1 + 7 times 2
16 = a1 + 14

Resposta

O primeiro termo da progressão é a₁ = 2 e a razão é r = 2. A alternativa correta é:
a) a₁ = 3 e r = 2
(Na verdade, houve um erro na correspondência das alternativas. Com a resolução, o correto seria a opção que mostra a₁ = 2 e r = 2, ou seja, a alternativa d). Verifique as opções novamente.)

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