Um projetil é atirado com velocidade em um ângulo de com a horizontal, de uma altura de de altura do solo e cai em uma superfície a de altura do solo.
Por quanto tempo o o projetil esteve viajando e quão longe estava a superfície de aterrizagem?

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o que precisamos para resolver.
Enunciado: Um projetil é lançado com uma velocidade inicial de em um ângulo de com a horizontal, a partir de uma altura de do solo, e cai em uma superfície a do solo.
Objetivos:
  1. Determinar o tempo que o projetil esteve viajando.
  2. Encontrar a distância horizontal (quão longe) até a superfície de aterrissagem.
Matéria e Conceitos Necessários:
Vamos usar os conceitos de movimento projetil, que envolve decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical, e usar as equações de movimento uniformemente acelerado para calcular o tempo e a distância.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial nos componentes horizontal ( ) e vertical ( ) usando as funções trigonométricas cosseno e seno, respectivamente.
Explicação: A decomposição da velocidade nos ajuda a tratar os movimentos horizontal e vertical separadamente, já que a aceleração horizontal é zero (negligenciando a resistência do ar), e a aceleração vertical é a da gravidade.

Passo 3

Calculando os valores das componentes:
Sabemos que:
Portanto:
Explicação: Usamos aproximações dos valores das funções trigonométricas para facilitar os cálculos.

Passo 4

Agora, vamos analisar o movimento vertical para encontrar o tempo de voo. A posição vertical em função do tempo é dada por:
Onde:
  • (altura inicial)
  • (aceleração devido à gravidade)
  • (altura final)
Substituindo os valores:
Explicação: Essa equação nos permite relacionar a posição vertical ao longo do tempo, considerando a aceleração da gravidade.

Passo 5

Vamos reorganizar a equação para formar uma equação quadrática na forma padrão :
Explicação: Colocar a equação na forma padrão facilita a aplicação da fórmula quadrática para encontrar os valores de .

Passo 6

Aplicamos a fórmula quadrática para resolver :
Onde:
Calculando o discriminante ( ):
Explicação: O discriminante nos informa quantas soluções reais existem para a equação quadrática. Como , teremos duas soluções reais.

Passo 7

Calculando os valores de :
Obtemos duas possíveis soluções:
Desprezamos a solução negativa, pois o tempo não pode ser negativo.
Explicação: A solução positiva representa o tempo real de voo do projetil até atingir a altura final desejada.

Passo 8

Agora que temos o tempo de voo , vamos calcular a distância horizontal percorrida.
Usamos a fórmula do movimento horizontal:
Explicação: Como não há aceleração horizontal, a distância é simplesmente a velocidade horizontal multiplicada pelo tempo de voo.

Resposta

O projetil esteve viajando por aproximadamente 3,10 segundos e a superfície de aterrissagem está a cerca de 61,88 metros de distância.

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