Um projetil é atirado com velocidade v0=25 m / s em um ângulo de 37^circ com a horizontal, de uma altura de 2,0 m de altura do solo e cai em uma superfície a 1,5 m de altura do solo.
Por quanto tempo o o projetil esteve viajando e quão longe estava a superfície de aterrizagem?

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o que precisamos para resolver.
Enunciado: Um projetil é lançado com uma velocidade inicial de em um ângulo de com a horizontal, a partir de uma altura de do solo, e cai em uma superfície a do solo.
Objetivos:
  1. Determinar o tempo que o projetil esteve viajando.
  2. Encontrar a distância horizontal (quão longe) até a superfície de aterrissagem.
Matéria e Conceitos Necessários:
Vamos usar os conceitos de movimento projetil, que envolve decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical, e usar as equações de movimento uniformemente acelerado para calcular o tempo e a distância.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial v0x = v0 cdot cos(theta) = 25 cdot cos(37^circ) nos componentes horizontal ( v0y = v0 cdot sin(theta) = 25 cdot sin(37^circ) ) e vertical ( ) usando as funções trigonométricas cosseno e seno, respectivamente.
Explicação: A decomposição da velocidade nos ajuda a tratar os movimentos horizontal e vertical separadamente, já que a aceleração horizontal é zero (negligenciando a resistência do ar), e a aceleração vertical é a da gravidade.

Passo 3

Calculando os valores das componentes:
Sabemos que:
cos(37^circ) approx 0,7986
sin(37^circ) approx 0,6018
Portanto:
v0x = 25 cdot 0,7986 approx 19,965 , m/s
v0y = 25 cdot 0,6018 approx 15,045 , m/s
Explicação: Usamos aproximações dos valores das funções trigonométricas para facilitar os cálculos.

Passo 4

Agora, vamos analisar o movimento vertical para encontrar o tempo de voo. A posição vertical y(t) = h0 + v0y t - 12 g t^2 em função do tempo é dada por:
1,5 = 2,0 + 15,045 t - 12 cdot 9,81 cdot t^2
Onde:
  • (altura inicial)
  • (aceleração devido à gravidade)
  • (altura final)
Substituindo os valores:
Explicação: Essa equação nos permite relacionar a posição vertical ao longo do tempo, considerando a aceleração da gravidade.

Passo 5

Vamos reorganizar a equação para formar uma equação quadrática na forma padrão - 12 cdot 9,81 cdot t^2 + 15,045 t + (2,0 - 1,5) = 0 :
-4,905 t^2 + 15,045 t + 0,5 = 0
Explicação: Colocar a equação na forma padrão facilita a aplicação da fórmula quadrática para encontrar os valores de .

Passo 6

Aplicamos a fórmula quadrática para resolver t = -b pm raizb^2 - 4ac2a :
De
Onde:
  • De
Calculando o discriminante ( ):
Explicação: O discriminante nos informa quantas soluções reais existem para a equação quadrática. Como , teremos duas soluções reais.

Passo 7

Calculando os valores de t = -15,045 pm raiz236,162 cdot (-4,905) :
raiz236,16 approx 15,37
t = -15,045 pm 15,37-9,81
t = -15,045 + 15,37-9,81 = 0,325-9,81 approx -0,033 , s
Obtemos duas possíveis soluções:
  1. t = -15,045 - 15,37-9,81 = -30,415-9,81 approx 3,098 , s
Desprezamos a solução negativa, pois o tempo não pode ser negativo.
Explicação: A solução positiva representa o tempo real de voo do projetil até atingir a altura final desejada.

Passo 8

Agora que temos o tempo de voo x = v0x cdot t = 19,965 cdot 3,10 approx 61,88 , m , vamos calcular a distância horizontal percorrida.
Usamos a fórmula do movimento horizontal:
Explicação: Como não há aceleração horizontal, a distância é simplesmente a velocidade horizontal multiplicada pelo tempo de voo.

Resposta

O projetil esteve viajando por aproximadamente 3,10 segundos e a superfície de aterrissagem está a cerca de 61,88 metros de distância.

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