Um projetil é atirado com velocidade
em um ângulo de
com a horizontal, de uma altura de
de altura do solo e cai em uma superfície a
de altura do solo.
Por quanto tempo o o projetil esteve viajando e quão longe estava a superfície de aterrizagem?
Por quanto tempo o o projetil esteve viajando e quão longe estava a superfície de aterrizagem?
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o que precisamos para resolver.
Enunciado: Um projetil é lançado com uma velocidade inicial de
em um ângulo de
com a horizontal, a partir de uma altura de
do solo, e cai em uma superfície a
do solo.
Objetivos:
- Determinar o tempo que o projetil esteve viajando.
- Encontrar a distância horizontal (quão longe) até a superfície de aterrissagem.
Matéria e Conceitos Necessários:
Vamos usar os conceitos de movimento projetil, que envolve decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical, e usar as equações de movimento uniformemente acelerado para calcular o tempo e a distância.
Vamos usar os conceitos de movimento projetil, que envolve decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical, e usar as equações de movimento uniformemente acelerado para calcular o tempo e a distância.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial
nos componentes horizontal (
) e vertical (
) usando as funções trigonométricas cosseno e seno, respectivamente.
Explicação: A decomposição da velocidade nos ajuda a tratar os movimentos horizontal e vertical separadamente, já que a aceleração horizontal é zero (negligenciando a resistência do ar), e a aceleração vertical é a da gravidade.
Passo 3
Calculando os valores das componentes:
Sabemos que:
Portanto:
Explicação: Usamos aproximações dos valores das funções trigonométricas para facilitar os cálculos.
Passo 4
Agora, vamos analisar o movimento vertical para encontrar o tempo de voo. A posição vertical
em função do tempo é dada por:
Onde:
-
(altura inicial) -
(aceleração devido à gravidade) -
(altura final)
Substituindo os valores:
Explicação: Essa equação nos permite relacionar a posição vertical ao longo do tempo, considerando a aceleração da gravidade.
Passo 5
Vamos reorganizar a equação para formar uma equação quadrática na forma padrão
:
Explicação: Colocar a equação na forma padrão facilita a aplicação da fórmula quadrática para encontrar os valores de
.
Passo 6
Aplicamos a fórmula quadrática para resolver
:
Onde:
Calculando o discriminante (
):
Explicação: O discriminante nos informa quantas soluções reais existem para a equação quadrática. Como
, teremos duas soluções reais.
Passo 7
Calculando os valores de
:
Obtemos duas possíveis soluções:
Desprezamos a solução negativa, pois o tempo não pode ser negativo.
Explicação: A solução positiva representa o tempo real de voo do projetil até atingir a altura final desejada.
Passo 8
Agora que temos o tempo de voo
, vamos calcular a distância horizontal percorrida.
Usamos a fórmula do movimento horizontal:
Explicação: Como não há aceleração horizontal, a distância é simplesmente a velocidade horizontal multiplicada pelo tempo de voo.
Resposta
O projetil esteve viajando por aproximadamente 3,10 segundos e a superfície de aterrissagem está a cerca de 61,88 metros de distância.
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(b) Escreva as unidades fundamentais do SI.
Converta as unidades:
(d) para
(d)