Uma partícula tem trajetória descrita por , sendo uma constante.
Mostre que a aceleração radial é zero quando .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a trajetória de uma partícula em coordenadas polares: e a relação , onde é uma constante. Precisamos mostrar que a aceleração radial é zero quando radianos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática em coordenadas polares, especificamente as fórmulas para a aceleração radial e angular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é aceleração radial. Em coordenadas polares, a aceleração tem duas componentes: radial ( ) e angular ( ). A aceleração radial está associada à mudança no valor de e à velocidade angular.
A fórmula para a aceleração radial é:
Onde:
  • é a segunda derivada de em relação ao tempo (aceleração radial pura)
  • é a primeira derivada de em relação ao tempo (velocidade angular)

Passo 3

Vamos começar calculando e em função do tempo . Temos:
E:
Então, substituindo em :

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas necessárias. Primeiro, a primeira derivada de em relação ao tempo:
E a segunda derivada:

Passo 5

Em seguida, vamos calcular :
E a segunda derivada de , se necessário, mas para só precisamos de .

Passo 6

Agora, substituímos e na fórmula da aceleração radial:
Simplificando:

Passo 7

Queremos encontrar quando . Então, igualamos a expressão a zero:
Resolvendo para :

Passo 8

Agora, vamos relacionar esse valor de com . Sabemos que:
Substituindo :

Resposta

A aceleração radial é zero quando radianos.

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