Uma partícula tem trajetória descrita por r=1pi theta, com theta=alpha 12 t^2, sendo alpha uma constante.
Mostre que a aceleração radial é zero quando theta=raiz12 rad.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a trajetória de uma partícula em coordenadas polares: e a relação , onde é uma constante. Precisamos mostrar que a aceleração radial é zero quando radianos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática em coordenadas polares, especificamente as fórmulas para a aceleração radial e angular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é aceleração radial. Em coordenadas polares, a aceleração tem duas componentes: radial ( ar = ddotr - r dottheta^2 ) e angular ( ). A aceleração radial está associada à mudança no valor de e à velocidade angular.
A fórmula para a aceleração radial é:
Onde:
  • é a segunda derivada de em relação ao tempo (aceleração radial pura)
  • é a primeira derivada de em relação ao tempo (velocidade angular)

Passo 3

Vamos começar calculando r = 1pi theta e theta = alpha cdot 12 t^2 em função do tempo r = 1pi cdot ( alpha2 t^2 ) = alpha2pi t^2 . Temos:
E:
Então, substituindo em :

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas necessárias. Primeiro, a primeira derivada de dotr = ddt ( alpha2pi t^2 ) = alphapi t em relação ao tempo:
ddotr = ddt ( alphapi t ) = alphapi
E a segunda derivada:

Passo 5

Em seguida, vamos calcular dottheta = ddt ( alpha2 t^2 ) = alpha t :
E a segunda derivada de , se necessário, mas para só precisamos de .

Passo 6

Agora, substituímos ar = ddotr - r dottheta^2 = alphapi - alpha2pi t^2 cdot (alpha t)^2 e ar = alphapi - alpha^32pi t^4 na fórmula da aceleração radial:
Simplificando:

Passo 7

Queremos encontrar quando alphapi - alpha^32pi t^4 = 0 . Então, igualamos a expressão a zero:
alphapi = alpha^32pi t^4
Resolvendo para 2 = alpha^2 t^4 :
t^4 = 2alpha^2
t = ( 2alpha^2 )^1/4

Passo 8

Agora, vamos relacionar esse valor de theta = alpha2 t^2 com theta = alpha2 ( 2alpha^2 )^1/2 . Sabemos que:
theta = alpha2 cdot raiz2alpha
Substituindo theta = raiz22 = raiz12 :

Resposta

A aceleração radial é zero quando radianos.

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