Uma partícula tem trajetória descrita por
, sendo
uma constante.
Mostre que a aceleração radial é zero quando
.
Mostre que a aceleração radial é zero quando
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a trajetória de uma partícula em coordenadas polares:
e a relação
, onde
é uma constante. Precisamos mostrar que a aceleração radial
é zero quando
radianos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática em coordenadas polares, especificamente as fórmulas para a aceleração radial e angular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é aceleração radial. Em coordenadas polares, a aceleração tem duas componentes: radial (
) e angular (
). A aceleração radial está associada à mudança no valor de
e à velocidade angular.
A fórmula para a aceleração radial é:
Onde:
-
é a segunda derivada de em relação ao tempo (aceleração radial pura) -
é a primeira derivada de em relação ao tempo (velocidade angular)
Passo 3
Vamos começar calculando
e
em função do tempo
. Temos:
E:
Então, substituindo
em
:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas necessárias. Primeiro, a primeira derivada de
em relação ao tempo:
E a segunda derivada:
Passo 5
Em seguida, vamos calcular
:
E a segunda derivada de
, se necessário, mas para
só precisamos de
.
Passo 6
Agora, substituímos
e
na fórmula da aceleração radial:
Simplificando:
Passo 7
Queremos encontrar quando
. Então, igualamos a expressão a zero:
Resolvendo para
:
Passo 8
Agora, vamos relacionar esse valor de
com
. Sabemos que:
Substituindo
:
Resposta
A aceleração radial
é zero quando
radianos.