Um projétil é atirado verticalmente para cima a partir do solo, com velocidade inicial de 20 m/s. Despreze a resistência do ar e adote a origem dos espaços no solo com a trajetória orientada para cima (dado; g=10 m/s²). Determine:
A) as funções horárias do movimento;
B) o tempo de subida;
C) a altura máxima atingida;
D) em t=3 s, o espaço e o sentido do movimento;
E) o instante e a velocidade escalar quando o projétil atinge o solo.

Passo 1

Então, o que temos aqui é um projétil que foi lançado para cima do chão com uma velocidade inicial de 20 m/s. A gente vai usar os conceitos de movimento uniformemente variado, especificamente considerando a aceleração da gravidade, que é de 10 m/s² para baixo. Pra resolver isso, vamos precisar das fórmulas das funções horárias do movimento, que nos ajudam a encontrar a posição e a velocidade do projétil em qualquer instante.

Passo 2

Primeiro, a gente cria as funções horárias. A posição $ s(t) $ em função do tempo é dada por:
s(t)
Como o projétil parte do solo, $ s_0 = 0 $. A velocidade inicial $ v_0 = 20 , m/s $, e $ g = 10 , m/s² $. Então:
s(t) = s0 + v0 t - 12 g t^2
A velocidade $ v(t) $ é a derivada da posição em relação ao tempo:
s0 = 0
v0 = 20 , m/s

Passo 3

Agora, vamos achar o tempo de subida. O tempo de subida é o instante em que a velocidade do projétil chega a zero, ou seja, quando ele para de subir e começa a descer. Então, igualamos $ v(t) $ a zero:
v(t)
Resolvendo para $ t $:
20 - 10t = 0
t

Passo 4

Com o tempo de subida, podemos encontrar a altura máxima atingida. Basta substituir $ t = 2 , s $ na função da posição:
t = 2 , s
s(2) = 20(2) - 5(2)^2
s(2) = 40 - 20

Passo 5

Vamos ver o que acontece aos 3 segundos. Primeiro, acha a posição em $ t = 3 , s $:
t = 3 , s
s(3) = 20(3) - 5(3)^2
s(3) = 60 - 45
Agora, a velocidade em $ t = 3 , s $:
s(3) = 15 , m
t = 3 , s
v(3) = 20 - 10(3)
O sinal negativo indica que o movimento está para baixo nesse instante.

Passo 6

Por fim, vamos determinar quando o projétil volta ao solo e a velocidade nesse instante. A volta ao solo ocorre quando $ s(t) = 0 $:
s(t) = 0
20t - 5t^2 = 0
As soluções são $ t = 0 $ (lançamento) e $ t = 4 , s $. Então, o projétil atinge o solo novamente aos 4 segundos. A velocidade nesse instante:
t(20 - 5t) = 0
t = 0
t = 4 , s
A velocidade negativa indica que está descendo.

Resposta

A) As funções horárias são $ s(t) = 20t - 5t^2 $ e $ v(t) = 20 - 10t $.
B) O tempo de subida é de 2 segundos.
C) A altura máxima atingida é de 20 metros.
D) Em $ t = 3 , s $, o projétil está a 15 metros do solo e está se movendo para baixo.
E) O projétil atinge o solo novamente aos 4 segundos, com velocidade de -20 m/s.

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