Um próton de alta velocidade e carga elétrica e desloca-se a uma velocidade constante v0 sobre uma linha reta próxima a um elétron de massa m e carga elétrica -e, inicialmente em repouso. O elétron encontra-se a uma distância a da trajetória do próton.
a.) Suponha que o próton passe pelo elétron tão rapidamente que este não tenha tempo suficiente para deslocar-se a uma distância apreciável até que o próton esteja muito longe. Mostre que a componente da força perpendicular à linha sobre a qual o próton se desloca é
F=e^2 a4 pi varepsilon0(a^2+v0^2 t^2)^3 / 2,( unidades MKS )
onde t=0 quando o próton alcaça a distância de maior aproximação do elétron.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um próton (partícula carregada positivamente) se movendo numa velocidade constante perto de um elétron (partícula carregada negativamente) que está parado inicialmente. A distância inicial entre eles é . A tarefa é encontrar a força perpendicular à trajetória do próton que atua sobre o elétron quando o próton passa rapidinho, de forma que o elétron quase não se move. Para resolver isso, vamos usar conceitos de força elétrica da Eletrostática e a Lei de Coulomb para calcular a força entre as cargas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Coulomb, que descreve a força elétrica entre duas cargas. A fórmula é:
F = 14 pi varepsilon0 cdot q1 q2r^2
Onde:
  • é a força elétrica,
  • é a permissividade do vácuo,
  • e são as cargas das partículas,
  • é a distância entre elas.

Passo 3

No nosso caso, a distância r = raiza^2 + (v0 t)^2 entre o próton e o elétron não é constante, já que o próton está se movendo. Vamos considerar o próton se movendo ao longo do eixo e o elétron está a uma distância no eixo . Então, a posição do próton em função do tempo é .
A distância entre as duas partículas é então dada por:

Passo 4

Queremos a componente da força perpendicular à trajetória do próton, que nesse caso é a componente na direção F = e^24 pi varepsilon0 (a^2 + v0^2 t^2) . Usando a Lei de Coulomb, a força total entre as partículas é:
sin theta = araiza^2 + v0^2 t^2
Agora, para achar a componente perpendicular , usamos o seno do ângulo entre a linha de força e a direção do movimento do próton. Esse ângulo é dado por:

Passo 5

Portanto, a componente perpendicular da força é:
Fy = F cdot sin theta = e^24 pi varepsilon0 (a^2 + v0^2 t^2) cdot araiza^2 + v0^2 t^2
Simplificando a expressão:
Fy = e^2 a4 pi varepsilon0 (a^2 + v0^2 t^2)^3/2

Resposta

A componente da força perpendicular é
F = e^2 a4 pi varepsilon0(a^2+v0^2 t^2)^3 / 2

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