Um próton de alta velocidade e carga elétrica e desloca-se a uma velocidade constante
sobre uma linha reta próxima a um elétron de massa
e carga elétrica
, inicialmente em repouso. O elétron encontra-se a uma distância
da trajetória do próton.
a.) Suponha que o próton passe pelo elétron tão rapidamente que este não tenha tempo suficiente para deslocar-se a uma distância apreciável até que o próton esteja muito longe. Mostre que a componente da força perpendicular à linha sobre a qual o próton se desloca é
onde
quando o próton alcaça a distância de maior aproximação do elétron.
a.) Suponha que o próton passe pelo elétron tão rapidamente que este não tenha tempo suficiente para deslocar-se a uma distância apreciável até que o próton esteja muito longe. Mostre que a componente da força perpendicular à linha sobre a qual o próton se desloca é
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um próton (partícula carregada positivamente) se movendo numa velocidade constante
perto de um elétron (partícula carregada negativamente) que está parado inicialmente. A distância inicial entre eles é
. A tarefa é encontrar a força perpendicular à trajetória do próton que atua sobre o elétron quando o próton passa rapidinho, de forma que o elétron quase não se move. Para resolver isso, vamos usar conceitos de força elétrica da Eletrostática e a Lei de Coulomb para calcular a força entre as cargas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei de Coulomb, que descreve a força elétrica entre duas cargas. A fórmula é:
Onde:
-
é a força elétrica, -
é a permissividade do vácuo, -
e são as cargas das partículas, -
é a distância entre elas.
Passo 3
No nosso caso, a distância
entre o próton e o elétron não é constante, já que o próton está se movendo. Vamos considerar o próton se movendo ao longo do eixo
e o elétron está a uma distância
no eixo
. Então, a posição do próton em função do tempo
é
.
A distância entre as duas partículas é então dada por:
Passo 4
Queremos a componente da força perpendicular à trajetória do próton, que nesse caso é a componente na direção
. Usando a Lei de Coulomb, a força total entre as partículas é:
Agora, para achar a componente perpendicular
, usamos o seno do ângulo entre a linha de força e a direção do movimento do próton. Esse ângulo
é dado por:
Passo 5
Portanto, a componente perpendicular da força é:
Simplificando a expressão:
Resposta
A componente da força perpendicular é
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(d) ( )
(d) ( )
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© ( ) quatro
© ( ) quatro
Dividindo-se
por
, encontra-se:
(d) ( )
(d) ( )
Uma partícula, inicialmente em repouso, é submetida no início a uma força
a.) Ache o seu movimento.