Uma partícula, inicialmente em repouso, é submetida no início a uma força
a.) Ache o seu movimento.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente tem aqui. Temos uma partícula que estava parada no começo e recebe uma força que depende do tempo. A força é dada por:
Vamos usar os conceitos de cinemática e dinâmica para achar o movimento dessa partícula. Precisamos relacionar a força aplicada com a aceleração da partícula para descobrir sua posição ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, sabemos que a segunda lei de Newton nos diz que:
onde é a massa da partícula e é a aceleração. Como a aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo ( ), podemos escrever:
Então, isolando a aceleração:

Passo 3

Para encontrar o movimento , precisamos integrar essa equação duas vezes. A primeira integração nos dá a velocidade :
Como a partícula estava inicialmente em repouso, sabemos que . Isso nos ajuda a encontrar a constante de integração .

Passo 4

Vamos resolver a integral:
Para resolver essa integral, usamos a fórmula de integração de funções exponenciais multiplicadas por funções trigonométricas:
Aplicando isso no nosso caso, onde e :

Passo 5

Substituindo de volta na expressão da velocidade:
Aplicando a condição inicial :
Então, a constante é:

Passo 6

Agora, temos a expressão para a velocidade. Vamos integrar novamente para encontrar a posição :
Sabemos que a partícula estava inicialmente em repouso, então , o que nos ajuda a determinar .

Passo 7

Resolvendo a integral:
Então, substituindo na expressão de :
Aplicando :
Logo, .

Passo 8

Juntando tudo, temos a expressão completa para o movimento da partícula:
Simplificando e substituindo da etapa anterior:

Resposta

O movimento da partícula é dado por:

Exercícios relacionados

Dividindo-se por , encontra-se:
(d) ( )
Um próton de alta velocidade e carga elétrica e desloca-se a uma velocidade constante sobre uma linha reta próxima a um elétron de massa e carga elétrica , inicialmente em repouso. O elétron encontra-se a uma distância da trajetória do próton.
a.) Suponha que o próton passe pelo elétron tão rapidamente que este não tenha tempo suficiente para deslocar-se a uma distância apreciável até que o próton esteja muito longe. Mostre que a componente da força perpendicular à linha sobre a qual o próton se desloca é
onde quando o próton alcaça a distância de maior aproximação do elétron.
Um marceneiro, ao medir a largura de uma porta para fazer a esquadria, achou 58 cm . Sabendo-se o valor provável, 60 cm , pode-se afirmar que o erro percentual cometido pelo marceneiro foi de:
(a) ( ) 2 cm
Conceba uma função que possua a forma deste potencial, tendo valor em , e em , e ache a força correspondente.