Uma partícula, inicialmente em repouso, é submetida no início a uma força
a.) Ache o seu movimento.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a gente tem aqui. Temos uma partícula que estava parada no começo e recebe uma força que depende do tempo. A força é dada por:
Vamos usar os conceitos de cinemática e dinâmica para achar o movimento dessa partícula. Precisamos relacionar a força aplicada com a aceleração da partícula para descobrir sua posição ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, sabemos que a segunda lei de Newton nos diz que:
onde
é a massa da partícula e
é a aceleração. Como a aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo (
), podemos escrever:
Então, isolando a aceleração:
Passo 3
Para encontrar o movimento
, precisamos integrar essa equação duas vezes. A primeira integração nos dá a velocidade
:
Como a partícula estava inicialmente em repouso, sabemos que
. Isso nos ajuda a encontrar a constante de integração
.
Passo 4
Vamos resolver a integral:
Para resolver essa integral, usamos a fórmula de integração de funções exponenciais multiplicadas por funções trigonométricas:
Aplicando isso no nosso caso, onde
e
:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão da velocidade:
Aplicando a condição inicial
:
Então, a constante
é:
Passo 6
Agora, temos a expressão para a velocidade. Vamos integrar novamente para encontrar a posição
:
Sabemos que a partícula estava inicialmente em repouso, então
, o que nos ajuda a determinar
.
Passo 7
Resolvendo a integral:
Então, substituindo na expressão de
:
Aplicando
:
Logo,
.
Passo 8
Juntando tudo, temos a expressão completa para o movimento da partícula:
Simplificando e substituindo
da etapa anterior:
Resposta
O movimento da partícula é dado por: