Uma partícula, inicialmente em repouso, é submetida no início a uma força
F=F0 e^-gamma t cos (omega t+theta)
a.) Ache o seu movimento.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente tem aqui. Temos uma partícula que estava parada no começo e recebe uma força que depende do tempo. A força é dada por:
F = F0 e^-gamma t cos (omega t + theta)
Vamos usar os conceitos de cinemática e dinâmica para achar o movimento dessa partícula. Precisamos relacionar a força aplicada com a aceleração da partícula para descobrir sua posição ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, sabemos que a segunda lei de Newton nos diz que:
F = m cdot a
onde m ddotx = F0 e^-gamma t cos (omega t + theta) é a massa da partícula e ddotx = F0m e^-gamma t cos (omega t + theta) é a aceleração. Como a aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo ( ), podemos escrever:
Então, isolando a aceleração:

Passo 3

Para encontrar o movimento dotx = integral ddotx , dt = F0m integral e^-gamma t cos (omega t + theta) , dt + C1 , precisamos integrar essa equação duas vezes. A primeira integração nos dá a velocidade :
Como a partícula estava inicialmente em repouso, sabemos que . Isso nos ajuda a encontrar a constante de integração .

Passo 4

Vamos resolver a integral:
integral e^-gamma t cos (omega t + theta) , dt
Para resolver essa integral, usamos a fórmula de integração de funções exponenciais multiplicadas por funções trigonométricas:
integral e^at cos(bt + c) , dt = e^at ( a cos(bt + c) + b sin(bt + c)a^2 + b^2 ) + C
Aplicando isso no nosso caso, onde integral e^-gamma t cos (omega t + theta) , dt = e^-gamma t ( -gamma cos (omega t + theta) + omega sin (omega t + theta)gamma^2 + omega^2 ) + C e :

Passo 5

Substituindo de volta na expressão da velocidade:
dotx = F0m [ e^-gamma t ( -gamma cos (omega t + theta) + omega sin (omega t + theta)gamma^2 + omega^2 ) ] + C1
Aplicando a condição inicial 0 = F0m [ -gamma cos (theta) + omega sin (theta)gamma^2 + omega^2 ] + C1 :
C1 = -F0m ( -gamma cos (theta) + omega sin (theta)gamma^2 + omega^2 )
Então, a constante é:

Passo 6

Agora, temos a expressão para a velocidade. Vamos integrar novamente para encontrar a posição x(t) = integral dotx , dt = F0m integral [ e^-gamma t ( -gamma cos (omega t + theta) + omega sin (omega t + theta)gamma^2 + omega^2 ) ] dt + C1 t + C2 :
Sabemos que a partícula estava inicialmente em repouso, então , o que nos ajuda a determinar .

Passo 7

Resolvendo a integral:
integral e^-gamma t ( -gamma cos (omega t + theta) + omega sin (omega t + theta)gamma^2 + omega^2 ) dt = e^-gamma t sin (omega t + theta)gamma^2 + omega^2 + C
Então, substituindo na expressão de x(t) = F0m (gamma^2 + omega^2) e^-gamma t sin (omega t + theta) + C1 t + C2 :
0 = F0m (gamma^2 + omega^2) sin (theta) + C2
Aplicando :
Logo, .

Passo 8

Juntando tudo, temos a expressão completa para o movimento da partícula:
x(t) = F0m (gamma^2 + omega^2) [ e^-gamma t sin (omega t + theta) - sin (theta) ] - F0 C1m t
Simplificando e substituindo x(t) = F0m (gamma^2 + omega^2) [ e^-gamma t sin (omega t + theta) - sin (theta) ] + F0m ( gamma cos (theta) - omega sin (theta)gamma^2 + omega^2 ) t da etapa anterior:

Resposta

O movimento da partícula é dado por:
x(t) = F0m (gamma^2 + omega^2) [ e^-gamma t sin (omega t + theta) - sin (theta) ] + F0m ( gamma cos (theta) - omega sin (theta)gamma^2 + omega^2 ) t

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