O protótipo de uma válvula de gaveta que controlará o escoamento em um sistema de tubulação de transporte de parafina é para ser estudado em um modelo. A lista das variáveis significativas para a perda de carga ( De ) inclui a abertura da gaveta (h), o diâmetro total da válvula (d), a velocidade (v) a massa específica ( rho ) e a viscosidade ( mu ). (a) Determine os grupos adimensionais envolvidos. (b) Um modelo numa escala 1 / 5 é construído para determinar a perda de carga através da válvula usando água como fluido de trabalho. Para uma dada abertura da válvula, quando a velocidade da parafina no
protótipo é 3 m / s. Qual deve ser a velocidade da água no modelo de forma a se garantir similaridade dinâmica? Qual a razão das vazões volumétrica e mássica entre protótipo e modelo? Encontre a perda de carga no protótipo se ela é de 60 kPa no modelo? (parafina: rho=800 kg / m^3 ; mu=0,002 kg /(m s) ). Resp.: (a) De; (b) 6 m / s ; 12,5 e 10; 12 kPa .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um protótipo de uma válvula de gaveta que controla o fluxo de parafina em um sistema de tubulação. Queremos estudar a perda de carga ( De) nessa válvula. As variáveis importantes envolvidas são:
  • h: abertura da gaveta
  • d: diâmetro total da válvula
  • v: velocidade do fluido
  • rho: massa específica do fluido
  • mu: viscosidade do fluido
O que precisamos fazer:
(a) Determinar os grupos adimensionais envolvidos.
(b) Com um modelo numa escala 1/5 usando água, encontrar:
  • A velocidade da água no modelo para garantir similaridade dinâmica.
  • A razão das vazões volumétrica e mássica entre protótipo e modelo.
  • A perda de carga no protótipo se ela é de 60 kPa no modelo.
Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos para a parte (a): determinar os grupos adimensionais. Para isso, usamos o Teorema de Buckingham Pi, que nos ajuda a reduzir as variáveis envolvidas em um problema para grupos sem dimensão.
Temos 5 variáveis: De, rho, v, d, h, e mu.
Precisamos encontrar quantos grupos adimensionais podemos formar. A fórmula geral é:
Número de Grupos = Número de Variáveis - Número de Dimensões úúáúõ
Considerando que temos 3 dimensões fundamentais (massa, comprimento, tempo), então:
Número de Grupos = 5 - 3 = 2 ú
Então, vamos formar 3 grupos adimensionais.

Passo 3

Agora, vamos formar esses grupos adimensionais usando o Teorema de Buckingham Pi. Escolhemos como variáveis repetidas aquelas que contêm todas as dimensões fundamentais. Geralmente, escolhemos rho, v, e d.
Vamos formar os grupos:
  1. Primeiro grupo ( Pi1):
Pi1 = De
Esse grupo relaciona a perda de carga com a energia cinética do fluido.
  1. Segundo grupo ( Pi2):
Pi2 = rho v dmu
Esse é o número de Reynolds, que indica o regime de fluxo (laminar ou turbulento).
  1. Terceiro grupo ( Pi3):
Pi3 = hd
Esse grupo relaciona a abertura da gaveta com o diâmetro da válvula.

Passo 4

Então, resumindo a parte (a), os grupos adimensionais envolvidos são:
De
Que correspondem a Pi1, Pi2, e Pi3 respectivamente.

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b). Temos um modelo em escala 1/5 usando água. Queremos garantir a similaridade dinâmica, ou seja, que as forças inerciais e viscosas sejam proporcionais entre o protótipo e o modelo.
Primeiro, precisamos relacionar as propriedades do protótipo e do modelo.
Dados:
  • Escala: modelo = 1/5 do protótipo
  • Velocidade no protótipo ( vp): 3 m/s
  • Propriedades da parafina: rhop = 800 , kg/m^3, mup = 0,002 , kg/(m·s)
  • Fluido no modelo: água ( rhom = 1000 , kg/m^3, mum = 0,001 , kg/(m·s))

Passo 6

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da água no modelo para garantir a similaridade dinâmica. Usamos o grupo adimensional Pi2 (número de Reynolds):
Pi2p = rhop vp dpmup = Pi2m = rhom vm dmmum
Sabemos que a escala lineal Lm = 15 Lp, então dm = 15 dp.
Igualando os grupos:
rhop vp dpmup = rhom vm (15 dp)mum
Simplificando:
vm = rhop vp dp mumrhom mup 15 dp = rhop vp mumrhom mup times 5
Substituindo os valores:
vm = 800 times 3 times 0,0011000 times 0,002 times 5 = 2.42 times 5 = 1.2 times 5 = 6 , m/s
Então, a velocidade da água no modelo deve ser 6 m/s.

Passo 7

Agora, vamos encontrar a razão das vazões volumétrica ( Q) e mássica ( dotm) entre protótipo e modelo.
A vazão volumétrica é dada por Q = v cdot A, onde A é a área. Como a escala linear é 1/5, a área escala com o quadrado da escala:
Am = (15)^2 Ap = 125 Ap
Então, a razão das vazões volumétrica é:
QpQm = vp cdot Apvm cdot Am = vpvm times Ap125 Ap = vpvm times 25
Substituindo vp = 3 , m/s e vm = 6 , m/s:
QpQm = 36 times 25 = 12 times 25 = 12,5
Então, a razão das vazões volumétrica é 12,5.
Para a vazão mássica:
dotm = rho cdot Q
A razão das vazões mássica é:
dotmpdotmm = rhop Qprhom Qm = rhoprhom times QpQm = 8001000 times 12,5 = 0,8 times 12,5 = 10
Então, a razão das vazões mássica é 10.

Passo 8

Finalmente, vamos encontrar a perda de carga no protótipo ( De) sabendo que no modelo ( De) é 60 kPa.
Usamos o grupo adimensional Pi1:
De
Resolvendo para De:
De
Substituindo os valores:
De
Então, a perda de carga no protótipo é de 12 kPa.

Resposta

(a) Os grupos adimensionais envolvidos são dfracDe, dfracrho v dmu e dfrachd.
(b) A velocidade da água no modelo deve ser 6 , m/s; as razões das vazões volumétrica e mássica entre protótipo e modelo são 12,5 e 10, respectivamente; e a perda de carga no protótipo é 12 , kPa.

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