Em uma prova de orientação você recebe a tarefa de se afastar o máximo possível de um acampamento através de três deslocamentos retilíneos. Você pode usar os seguintes deslocamentos, em qualquer ordem: (a) para leste; (b) ao norte do leste; © para oeste. Você pode também substituir por e por . Qual é a maior distância que você pode atingir após o terceiro deslocamento?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem três deslocamentos retilíneos que podemos usar, em qualquer ordem, para se afastar o máximo possível de um acampamento. Esses deslocamentos são:
  • Deslocamento a: 2,0 km na direção leste.
  • Deslocamento b: 2,0 km a 30° ao norte do leste.
  • Deslocamento c: 1,0 km na direção oeste.
Além disso, podemos inverter a direção de b e c, ou seja, usar -b e -c se for melhor para aumentar a distância final. Nosso objetivo é descobrir qual combinação desses deslocamentos dá a maior distância possível após os três movimentos.

Passo 2

Primeiro, vamos representar cada um desses deslocamentos como vetores no plano cartesiano (eixo x para leste-oeste e eixo y para norte-sul).
  • Deslocamento a: 2,0 km para leste. Isso significa que apenas temos componente no eixo x:
  • Deslocamento b: 2,0 km a 30° ao norte do leste. Precisamos decompor esse vetor nas componentes x e y:
  • Deslocamento c: 1,0 km para oeste. Para oeste, a componente x será negativa:

Passo 3

Como podemos usar -b e -c, vamos também escrever esses vetores invertidos:
  • -b: 2,0 km a 30° ao sul do oeste:
  • -c: 1,0 km para leste:

Passo 4

Para maximizar a distância final, precisamos somar os três vetores de uma forma que as componentes se acumulem positivamente. Vamos analisar as opções.
Podemos tentar somar os vetores positivos:
Mas talvez uma combinação diferente aumente mais a distância. Vamos tentar invertendo o deslocamento c:
Essa soma parece maior, mas vamos verificar outras combinações.
Outra opção é inverter b:
A componente x é um pouco menor que na soma anterior, então a segunda opção parece melhor.

Passo 5

Agora, vamos calcular a magnitude (distância) do vetor resultante da melhor soma que encontramos:
A fórmula para a magnitude de um vetor é:
Aplicando os valores:
Vamos calcular isso passo a passo.

Passo 6

Primeiro, calculamos :
Agora, somamos :
Então, a magnitude é:

Passo 7

Para simplificar, podemos aproximar o valor numérico:
Sabemos que . Então:

Resposta

A maior distância que você pode atingir após o terceiro deslocamento é aproximadamente 4,84 km.

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