Em uma prova de orientação você recebe a tarefa de se afastar o máximo possível de um acampamento através de três deslocamentos retilíneos. Você pode usar os seguintes deslocamentos, em qualquer ordem: (a) a, 2,0 km para leste; (b) b, 2,0 km 30^circ ao norte do leste; © c, 1,0 km para oeste. Você pode também substituir b por -b e c por -c. Qual é a maior distância que você pode atingir após o terceiro deslocamento?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem três deslocamentos retilíneos que podemos usar, em qualquer ordem, para se afastar o máximo possível de um acampamento. Esses deslocamentos são:
  • Deslocamento a: 2,0 km na direção leste.
  • Deslocamento b: 2,0 km a 30° ao norte do leste.
  • Deslocamento c: 1,0 km na direção oeste.
Além disso, podemos inverter a direção de b e c, ou seja, usar -b e -c se for melhor para aumentar a distância final. Nosso objetivo é descobrir qual combinação desses deslocamentos dá a maior distância possível após os três movimentos.

Passo 2

Primeiro, vamos representar cada um desses deslocamentos como vetores no plano cartesiano (eixo x para leste-oeste e eixo y para norte-sul).
  • Deslocamento a: 2,0 km para leste. Isso significa que apenas temos componente no eixo x:
    a = (2,0 km, 0)
  • Deslocamento b: 2,0 km a 30° ao norte do leste. Precisamos decompor esse vetor nas componentes x e y:
    b = (2 cos 30°, 2 sin 30°) km = (2 times raiz32, 2 times 12) = (raiz3, 1) km
  • Deslocamento c: 1,0 km para oeste. Para oeste, a componente x será negativa:
    c = (-1,0 km, 0)

Passo 3

Como podemos usar -b e -c, vamos também escrever esses vetores invertidos:
  • -b: 2,0 km a 30° ao sul do oeste:
    -b = (-raiz3, -1) km
  • -c: 1,0 km para leste:
    -c = (1,0 km, 0)

Passo 4

Para maximizar a distância final, precisamos somar os três vetores de uma forma que as componentes se acumulem positivamente. Vamos analisar as opções.
Podemos tentar somar os vetores positivos:
a + b + c = (2 + raiz3 - 1, 0 + 1 + 0) = (1 + raiz3, 1)
Mas talvez uma combinação diferente aumente mais a distância. Vamos tentar invertendo o deslocamento c:
a + b + (-c) = (2 + raiz3 + 1, 0 + 1 + 0) = (3 + raiz3, 1)
Essa soma parece maior, mas vamos verificar outras combinações.
Outra opção é inverter b:
a + (-b) + (-c) = (2 - raiz3 + 1, 0 - 1 + 0) = (3 - raiz3, -1)
A componente x é um pouco menor que na soma anterior, então a segunda opção parece melhor.

Passo 5

Agora, vamos calcular a magnitude (distância) do vetor resultante da melhor soma que encontramos:
R = a + b + (-c) = (3 + raiz3, 1)
A fórmula para a magnitude de um vetor |R| = raizx^2 + y^2 é:
|R| = raiz(3 + raiz3)^2 + 1^2
Aplicando os valores:
Vamos calcular isso passo a passo.

Passo 6

Primeiro, calculamos (3 + raiz3)^2 = 3^2 + 2 times 3 times raiz3 + (raiz3)^2 = 9 + 6raiz3 + 3 = 12 + 6raiz3 :
12 + 6raiz3 + 1 = 13 + 6raiz3
Agora, somamos |R| = raiz13 + 6raiz3 :
Então, a magnitude é:

Passo 7

Para simplificar, podemos aproximar o valor numérico:
Sabemos que 6raiz3 approx 6 times 1,732 = 10,392 . Então:
13 + 10,392 = 23,392
|R| approx raiz23,392 approx 4,836 km

Resposta

A maior distância que você pode atingir após o terceiro deslocamento é aproximadamente 4,84 km.

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