Em uma prova de orientação você recebe a tarefa de se afastar o máximo possível de um acampamento através de três deslocamentos retilíneos. Você pode usar os seguintes deslocamentos, em qualquer ordem: (a)
para leste; (b)
ao norte do leste; ©
para oeste. Você pode também substituir
por
e
por
. Qual é a maior distância que você pode atingir após o terceiro deslocamento?
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem três deslocamentos retilíneos que podemos usar, em qualquer ordem, para se afastar o máximo possível de um acampamento. Esses deslocamentos são:
- Deslocamento a: 2,0 km na direção leste.
- Deslocamento b: 2,0 km a 30° ao norte do leste.
- Deslocamento c: 1,0 km na direção oeste.
Além disso, podemos inverter a direção de b e c, ou seja, usar -b e -c se for melhor para aumentar a distância final. Nosso objetivo é descobrir qual combinação desses deslocamentos dá a maior distância possível após os três movimentos.
Passo 2
Primeiro, vamos representar cada um desses deslocamentos como vetores no plano cartesiano (eixo x para leste-oeste e eixo y para norte-sul).
-
Deslocamento a: 2,0 km para leste. Isso significa que apenas temos componente no eixo x:
-
Deslocamento b: 2,0 km a 30° ao norte do leste. Precisamos decompor esse vetor nas componentes x e y:
-
Deslocamento c: 1,0 km para oeste. Para oeste, a componente x será negativa:
Passo 3
Como podemos usar -b e -c, vamos também escrever esses vetores invertidos:
-
-b: 2,0 km a 30° ao sul do oeste:
-
-c: 1,0 km para leste:
Passo 4
Para maximizar a distância final, precisamos somar os três vetores de uma forma que as componentes se acumulem positivamente. Vamos analisar as opções.
Podemos tentar somar os vetores positivos:
Mas talvez uma combinação diferente aumente mais a distância. Vamos tentar invertendo o deslocamento c:
Essa soma parece maior, mas vamos verificar outras combinações.
Outra opção é inverter b:
A componente x é um pouco menor que na soma anterior, então a segunda opção parece melhor.
Passo 5
Agora, vamos calcular a magnitude (distância) do vetor resultante da melhor soma que encontramos:
A fórmula para a magnitude de um vetor
é:
Aplicando os valores:
Vamos calcular isso passo a passo.
Passo 6
Primeiro, calculamos
:
Agora, somamos
:
Então, a magnitude é:
Passo 7
Para simplificar, podemos aproximar o valor numérico:
Sabemos que
. Então:
Resposta
A maior distância que você pode atingir após o terceiro deslocamento é aproximadamente 4,84 km.
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e
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é igual (b) a 12 unidades e
Considere três pares de posições iniciais e finais, respectivamente, ao longo do eixo
. A quais dos pares correspondem deslocamentos negativos: (a)
; (b)
; ©
?