Prove que o conjunto Q dos números racionais é um corpo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que o conjunto dos números racionais, representado por Q, é um corpo. Na matemática, um corpo é uma estrutura algébrica que, basicamente, nos permite fazer operações de adição, subtração, multiplicação e divisão (exceto por zero) de maneira bem comportada. Para provar que Q é um corpo, precisamos verificar se ele satisfaz todas as propriedades que definem um corpo. Vamos aos passos!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um número racional. Um número racional é qualquer número que pode ser expresso como a fração ab, onde a e b são inteiros e b neq 0. Por exemplo, 12, -3, e 0 são todos números racionais.

Passo 3

Agora, para provar que Q é um corpo, precisamos verificar os seguintes requisitos:
  1. Fechamento sob adição e multiplicação: Se você adicionar ou multiplicar dois números racionais, o resultado também será um número racional.
  2. Associatividade da adição e multiplicação: A ordem em que você associa os números não altera o resultado.
  3. Comutatividade da adição e multiplicação: A ordem dos fatores não altera o produto ou a soma.
  4. Elemento neutro da adição e multiplicação: Existe um número que, quando adicionado ou multiplicado por qualquer número racional, não muda o número.
  5. Existência de inversos: Para cada número racional, existe outro número que, quando somado ou multiplicado, resulta no elemento neutro.
  6. Distributividade da multiplicação sobre a adição: Multiplicar uma soma por um número é o mesmo que multiplicar cada termo da soma por esse número e depois somar.
Vamos verificar cada um desses pontos para Q.

Passo 4

1. Fechamento sob adição e multiplicação:
Se temos dois números racionais, digamos ab e cd, onde a, b, c, d são inteiros e b, d neq 0, então:
  • Adição: ab + cd = ad + bcbd. Como ad + bc e bd são inteiros e bd neq 0, o resultado é um número racional.
  • Multiplicação: ab times cd = acbd. Novamente, ac e bd são inteiros e bd neq 0, então o produto é um número racional.
Portanto, Q é fechado sob adição e multiplicação.

Passo 5

2. Associatividade da adição e multiplicação:
  • Adição: Para três números racionais ab, cd e ef,
    (ab + cd) + ef = ad + bcbd + ef = (ad + bc)f + befbdf
    ab + (cd + ef) = ab + cf + dedf = a(df) + b(cf + de)bdf
    Os dois resultados são iguais, mostrando que a adição é associativa.
  • Multiplicação: De forma semelhante, a multiplicação de três números racionais também será associativa:
    (ab times cd) times ef = acbd times ef = acebdf
    ab times (cd times ef) = ab times cedf = acebdf
    Os dois lados são iguais, então a multiplicação é associativa.

Passo 6

3. Comutatividade da adição e multiplicação:
  • Adição: ab + cd = cd + ab, pois ad + bc = cb + da.
  • Multiplicação: ab times cd = cd times ab, pois ac = ca.
Assim, tanto a adição quanto a multiplicação são comutativas em Q.

Passo 7

4. Elemento neutro da adição e multiplicação:
  • Adição: O elemento neutro é 0, pois para qualquer ab,
    ab + 0 = ab.
  • Multiplicação: O elemento neutro é 1, pois para qualquer ab,
    ab times 1 = ab.
Portanto, existem elementos neutros para ambas as operações.

Passo 8

5. Existência de inversos:
  • Inverso aditivo: Para cada ab em Q, existe -ab tal que
    ab + (-ab) = 0.
  • Inverso multiplicativo: Para cada ab neq 0 em Q, existe ba tal que
    ab times ba = 1.
Assim, todo número racional tem inverso aditivo e, se não for zero, também tem inverso multiplicativo.

Passo 9

6. Distributividade da multiplicação sobre a adição:
Para quaisquer ab, cd e ef em Q,
ab times ( cd + ef ) = ab times cf + dedf = a(cf + de)bdf
Por outro lado,
ab times cd + ab times ef = acbd + aebf = acf + aebbdf
Como a(cf + de) = acf + ade, que é o mesmo que acf + aeb, a propriedade distributiva é satisfeita.

Resposta

Como verificamos todas as propriedades necessárias, podemos concluir que o conjunto dos números racionais Q é, de fato, um corpo.

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