Prove que o conjunto
dos números racionais é um corpo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que o conjunto dos números racionais, representado por
, é um corpo. Na matemática, um corpo é uma estrutura algébrica que, basicamente, nos permite fazer operações de adição, subtração, multiplicação e divisão (exceto por zero) de maneira bem comportada. Para provar que
é um corpo, precisamos verificar se ele satisfaz todas as propriedades que definem um corpo. Vamos aos passos!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um número racional. Um número racional é qualquer número que pode ser expresso como a fração
, onde
e
são inteiros e
. Por exemplo,
,
, e
são todos números racionais.
Passo 3
Agora, para provar que
é um corpo, precisamos verificar os seguintes requisitos:
- Fechamento sob adição e multiplicação: Se você adicionar ou multiplicar dois números racionais, o resultado também será um número racional.
- Associatividade da adição e multiplicação: A ordem em que você associa os números não altera o resultado.
- Comutatividade da adição e multiplicação: A ordem dos fatores não altera o produto ou a soma.
- Elemento neutro da adição e multiplicação: Existe um número que, quando adicionado ou multiplicado por qualquer número racional, não muda o número.
- Existência de inversos: Para cada número racional, existe outro número que, quando somado ou multiplicado, resulta no elemento neutro.
- Distributividade da multiplicação sobre a adição: Multiplicar uma soma por um número é o mesmo que multiplicar cada termo da soma por esse número e depois somar.
Vamos verificar cada um desses pontos para
.
Passo 4
1. Fechamento sob adição e multiplicação:
Se temos dois números racionais, digamos
e
, onde
são inteiros e
, então:
-
Adição:
. Como e são inteiros e , o resultado é um número racional. -
Multiplicação:
. Novamente, e são inteiros e , então o produto é um número racional.
Portanto,
é fechado sob adição e multiplicação.
Passo 5
2. Associatividade da adição e multiplicação:
-
Adição: Para três números racionais
, e , Os dois resultados são iguais, mostrando que a adição é associativa. -
Multiplicação: De forma semelhante, a multiplicação de três números racionais também será associativa:Os dois lados são iguais, então a multiplicação é associativa.
Passo 6
3. Comutatividade da adição e multiplicação:
-
Adição:
, pois . -
Multiplicação:
, pois .
Assim, tanto a adição quanto a multiplicação são comutativas em
.
Passo 7
4. Elemento neutro da adição e multiplicação:
-
Adição: O elemento neutro é
, pois para qualquer , . -
Multiplicação: O elemento neutro é
, pois para qualquer , .
Portanto, existem elementos neutros para ambas as operações.
Passo 8
5. Existência de inversos:
-
Inverso aditivo: Para cada
em , existe tal que . -
Inverso multiplicativo: Para cada
em , existe tal que .
Assim, todo número racional tem inverso aditivo e, se não for zero, também tem inverso multiplicativo.
Passo 9
6. Distributividade da multiplicação sobre a adição:
Para quaisquer
,
e
em
,
Por outro lado,
Como
, que é o mesmo que
, a propriedade distributiva é satisfeita.
Resposta
Como verificamos todas as propriedades necessárias, podemos concluir que o conjunto dos números racionais
é, de fato, um corpo.