Seja
uma função sobrejetiva. Prove que se
for finito então
também é finito.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício quer provar que se temos uma função
que é sobrejetiva (ou seja, todo elemento de
é atingido por pelo menos um elemento de
), e se o conjunto
é finito, então o conjunto
também precisa ser finito. Vamos usar conceitos de funções e conjuntos finitos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função sobrejetiva. Uma função
é sobrejetiva se para todo elemento
em
, existe pelo menos um elemento
em
tal que
. Isso garante que não sobra nenhum elemento em
sem imagem em
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é um conjunto finito. Um conjunto é finito se ele tem um número limitado de elementos. Ou seja, podemos contar seus elementos e sabemos que não há infinitos.
Passo 4
Sabemos que
é finito, então ele tem, digamos,
elementos. Como a função
é sobrejetiva, cada um dos
elementos de
está ligado a pelo menos um elemento em
. Mas isso significa que
não pode ter mais elementos do que
, já que cada elemento de
precisa ser “coberto” por algum elemento de
.
Passo 5
Se hipoteticamente
fosse infinito, teríamos um problema porque não poderia existir uma função que cobre todo
usando apenas
elementos de
. Isso violaria a sobrejetividade da função
. Portanto,
não pode ser infinito.
Resposta
Concluímos que se
é finito e
é uma função sobrejetiva, então
também deve ser finito.