Seja h: A B uma função sobrejetiva. Prove que se A for finito então B também é finito.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício quer provar que se temos uma função que é sobrejetiva (ou seja, todo elemento de é atingido por pelo menos um elemento de ), e se o conjunto é finito, então o conjunto também precisa ser finito. Vamos usar conceitos de funções e conjuntos finitos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função sobrejetiva. Uma função é sobrejetiva se para todo elemento em , existe pelo menos um elemento em tal que . Isso garante que não sobra nenhum elemento em sem imagem em .

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é um conjunto finito. Um conjunto é finito se ele tem um número limitado de elementos. Ou seja, podemos contar seus elementos e sabemos que não há infinitos.

Passo 4

Sabemos que é finito, então ele tem, digamos, elementos. Como a função é sobrejetiva, cada um dos elementos de está ligado a pelo menos um elemento em . Mas isso significa que não pode ter mais elementos do que , já que cada elemento de precisa ser “coberto” por algum elemento de .

Passo 5

Se hipoteticamente fosse infinito, teríamos um problema porque não poderia existir uma função que cobre todo usando apenas elementos de . Isso violaria a sobrejetividade da função . Portanto, não pode ser infinito.

Resposta

Concluímos que se é finito e é uma função sobrejetiva, então também deve ser finito.

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