Utilize indução para demonstrar que as seguintes igualdades são verdadeiras para todo
:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para provar, usando indução matemática, que a soma dos quadrados dos primeiros
números naturais é igual a
. Então, vamos precisar entender o que é indução matemática e como aplicá-la para provar essa igualdade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é indução matemática. É uma técnica de prova que tem dois passos principais: a base da indução e o passo indutivo. Basicamente, a gente mostra que a afirmação vale para o primeiro caso (base) e, se ela vale para algum número
, também vale para
.
Passo 3
Vamos começar com a base da indução. Precisamos verificar se a fórmula funciona para
. Então, substituindo
por 1 na soma e na fórmula:
Soma dos quadrados:
Fórmula:
Como
, a base da indução é verdadeira.
Passo 4
Agora, vamos ao passo indutivo. Vamos supor que a fórmula é verdadeira para algum número natural
, ou seja:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.
Passo 5
Nosso objetivo é provar que, se a fórmula vale para
, então ela também vale para
. Ou seja, precisamos mostrar que:
Passo 6
Vamos expandir a soma
. Ela é igual à soma dos primeiros
quadrados mais o quadrado de
:
Passo 7
Segundo a hipótese de indução, sabemos que
. Vamos substituir isso na equação:
Passo 8
Agora, vamos simplificar essa expressão. Primeiro, fatoramos
:
Passo 9
Vamos encontrar um denominador comum para somar as frações:
Passo 10
Simplificando o numerador:
Passo 11
Então, temos:
Passo 12
Vamos fatorar o polinômio
:
Passo 13
Substituindo de volta:
Passo 14
Observamos que
. Portanto, a expressão final fica:
Resposta
Assim, provamos por indução que
para todo
.