Utilize indução para demonstrar que as seguintes igualdades são verdadeiras para todo m in N : sumi=1^m i^2=m(m+1)(2 m+1)6;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para provar, usando indução matemática, que a soma dos quadrados dos primeiros m números naturais é igual a m(m+1)(2m+1)6. Então, vamos precisar entender o que é indução matemática e como aplicá-la para provar essa igualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é indução matemática. É uma técnica de prova que tem dois passos principais: a base da indução e o passo indutivo. Basicamente, a gente mostra que a afirmação vale para o primeiro caso (base) e, se ela vale para algum número k, também vale para k+1.

Passo 3

Vamos começar com a base da indução. Precisamos verificar se a fórmula funciona para m = 1. Então, substituindo m por 1 na soma e na fórmula:
Soma dos quadrados: 1^2 = 1
Fórmula: 1(1+1)(2 times 1 + 1)6 = 1 times 2 times 36 = 66 = 1
Como 1 = 1, a base da indução é verdadeira.

Passo 4

Agora, vamos ao passo indutivo. Vamos supor que a fórmula é verdadeira para algum número natural k, ou seja:
sumi=1^k i^2 = k(k+1)(2k+1)6
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.

Passo 5

Nosso objetivo é provar que, se a fórmula vale para k, então ela também vale para k+1. Ou seja, precisamos mostrar que:
sumi=1^k+1 i^2 = (k+1)(k+2)(2(k+1)+1)6

Passo 6

Vamos expandir a soma sumi=1^k+1 i^2. Ela é igual à soma dos primeiros k quadrados mais o quadrado de k+1:
sumi=1^k+1 i^2 = sumi=1^k i^2 + (k+1)^2

Passo 7

Segundo a hipótese de indução, sabemos que sumi=1^k i^2 = k(k+1)(2k+1)6. Vamos substituir isso na equação:
sumi=1^k+1 i^2 = k(k+1)(2k+1)6 + (k+1)^2

Passo 8

Agora, vamos simplificar essa expressão. Primeiro, fatoramos (k+1):
sumi=1^k+1 i^2 = (k+1) ( k(2k+1)6 + (k+1) )

Passo 9

Vamos encontrar um denominador comum para somar as frações:
k(2k+1)6 + 6(k+1)6 = k(2k+1) + 6(k+1)6

Passo 10

Simplificando o numerador:
k(2k+1) + 6(k+1) = 2k^2 + k + 6k + 6 = 2k^2 + 7k + 6

Passo 11

Então, temos:
sumi=1^k+1 i^2 = (k+1) ( 2k^2 + 7k + 66 )

Passo 12

Vamos fatorar o polinômio 2k^2 + 7k + 6:
2k^2 + 7k + 6 = (2k + 3)(k + 2)

Passo 13

Substituindo de volta:
sumi=1^k+1 i^2 = (k+1) ( (2k + 3)(k + 2)6 ) = (k+1)(k+2)(2k+3)6

Passo 14

Observamos que 2(k+1) + 1 = 2k + 2 + 1 = 2k + 3. Portanto, a expressão final fica:
sumi=1^k+1 i^2 = (k+1)(k+2)(2(k+1)+1)6

Resposta

Assim, provamos por indução que sumi=1^m i^2 = m(m+1)(2m+1)6 para todo m in N.

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