Prove que a diferença entre quadrados perfeitos distintos e não consecutivos é composta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente provar que a diferença entre dois quadrados perfeitos distintos e que não são consecutivos é um número composto. Ou seja, se você tem dois números, como
e
, que são quadrados perfeitos diferentes e
e
não são números consecutivos, então
sempre será um número que pode ser dividido por outros números além de 1 e ele mesmo. Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra e entender como os quadrados perfeitos funcionam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a diferença entre dois quadrados pode ser fatorada usando a fórmula:
Essa fatoração é super útil porque nos mostra que
é o produto de dois números:
e
.
Passo 3
Como
e
são distintos e não são consecutivos, isso significa que a diferença entre eles (
) é pelo menos 2. Ou seja,
. Isso porque se fossem consecutivos, a diferença seria 1, mas o enunciado diz que não são.
Passo 4
Agora, vamos olhar para os fatores
e
. Já sabemos que
. Além disso,
sempre será maior que
porque estamos somando dois números positivos.
Então, temos dois fatores ambos maiores ou iguais a 2:
Isso mostra que a diferença é pelo menos 8, que já é um número composto.
Passo 5
Para confirmar que
é composto, basta notar que ele tem pelo menos três divisores: 1,
e
. Como
e
, esses são divisores além de 1 e o próprio
.
Resposta
Assim, provamos que a diferença entre dois quadrados perfeitos distintos e não consecutivos é sempre um número composto.