Prove que a diferença entre quadrados perfeitos distintos e não consecutivos é composta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente provar que a diferença entre dois quadrados perfeitos distintos e que não são consecutivos é um número composto. Ou seja, se você tem dois números, como e , que são quadrados perfeitos diferentes e e não são números consecutivos, então sempre será um número que pode ser dividido por outros números além de 1 e ele mesmo. Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra e entender como os quadrados perfeitos funcionam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a diferença entre dois quadrados pode ser fatorada usando a fórmula:
Essa fatoração é super útil porque nos mostra que é o produto de dois números: e .

Passo 3

Como e são distintos e não são consecutivos, isso significa que a diferença entre eles ( ) é pelo menos 2. Ou seja, . Isso porque se fossem consecutivos, a diferença seria 1, mas o enunciado diz que não são.

Passo 4

Agora, vamos olhar para os fatores e . Já sabemos que . Além disso, sempre será maior que porque estamos somando dois números positivos.
Então, temos dois fatores ambos maiores ou iguais a 2:
Isso mostra que a diferença é pelo menos 8, que já é um número composto.

Passo 5

Para confirmar que é composto, basta notar que ele tem pelo menos três divisores: 1, e . Como e , esses são divisores além de 1 e o próprio .

Resposta

Assim, provamos que a diferença entre dois quadrados perfeitos distintos e não consecutivos é sempre um número composto.

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